Disequazione trigonometrica

[xSilver]

Buongiorno Signori, e Signore
Come faccio a risolvere questa disequazione??
$senx+sqrt(3)cosx-sqrt3>0$
Se potreste darmi una dritta per incominciare a lavorare sulla disequazione ve ne sarei grato

[burm87]

Io voto sempre per le formule parametriche.

[piero_1]

Si tratta di una disequazione goniometrica lineare; si possono usare due metodi: algebrico e grafico.
Nel primo caso si ricorre alle formule parametriche razionali, nel secondo caso si usa la geometria analitica.
Col metodo grafico:
Poniamo cos x = X, sen x = Y e consideriamo il sistema che risulta intersecando la circonferenza di centro O e raggio 1.
prova e facci sapere.

[@melia]

Conosco anche un terzo metodo che è quello "dell'angolo aggiunto", moltiplicando tutto per $1/2$,
$1/2sinx+sqrt(3)/2cosx>sqrt3/2$
e poi ricorrendo alle formule di somma del seno

[piero_1]

@ @melia: elegante ed efficace, come sempre...la classe non è $H_2O$

[xSilver]

Innanzitutto, grazie per le risposte.
Ho applicato le formule parametriche:
$senx+sqrt(3)cosx-sqrt(3) = (2t)/(1+t^2)+sqrt(3)*[(1-t^2)/(1+t^2)]-sqrt(3)$
$=>$ $[2t+sqrt(3)-sqrt(3)*t^2-sqrt(3)-sqrt(3)t^2]/(1+t^2)= [-2sqrt(3)t^2+2t ]/(1+t^2)$
Denominatore sempre non negativo il segno della disequazione è data solo dal numeratore:
$-2sqrt(3)t^2+2t>0$ $=>$ ${(t>0), (t<(sqrt(3))/3) :}$ $=>$ $0 Ma essendo $ t= tg(x/2) $ quando avviene che $0 Per @melia... purtroppo non ho capito il tuo consiglio
Scrivo ciò che ho tentato di fare:
$1/2senx = senx-sen(x/2) = senxcos(x/2)-sen(x/2)cosx =>$ $senx+sqrt(3)cosx-sqrt(3) = senxcos(x/2)-sen(x/2)cosx +sqrt(3)cosx-sqrt(3)$

[@melia]

Mi spiego meglio risolvendo l'esercizio
$1/2sinx+sqrt(3)/2cosx>sqrt3/2$
siccome $1/2= cos (pi/3)$ mentre $sqrt(3)/2= sin (pi/3)$, l'esercizio diventa

$sin(x+pi/3)>sqrt(3)/2$, il seno è maggiore di $sqrt3/2$ tra $pi/3$ e $2/3 pi$ perciò

$pi/3+ 2k pi<(x+pi/3)<2/3 pi + 2k pi$ da cui $2k pi

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[burm87]

Per quanto riguarda le parametriche devi intanto porre le condizioni di esistenza, ossia:
$x/2!=pi/2+kpi$
$x!=pi+2kpi$
Poi, una volta arrivato la, ottieni che la tangente è compresa tra quei due valori quando il suo angolo è compreso tra $0$ e $pi/6$:
$0+kpi $2kpi Spero di non aver sbagliato nulla, ma noto ora che mi viene lo stesso risultato di @melia quindi in caso ha sbagliato anche lei

[xSilver]

@melia, in effetti così è molto più veloce!! adesso ho capito grazie ^ ^

burm87, le parametriche le ho sempre evitate, fino a ieri... potresti spiegarmi meglio le C.E ?

[burm87]

Semplicemente devi porre l'esistenza della tangente che prevede che il suo angolo sia diverso da $pi/2+kpi$.

[xSilver]

Ok!! Grazie a tutti!!!

[onlyReferee]

Oltre alle formule parametriche ed al metodo dell'angolo aggiunto (o addizione/sottrazione che dir si voglia) che avete correttamente utilizzato in questo caso funziona anche una sostituzione (come di fatto ho eseguito).
Innanzitutto per la prima legge fondamentale della goniometria $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, posso ricavare $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}$, stando attento però a porre le condizioni $\sin x \geq 0$ e $1 - \cos^2 x \geq 0$, che riassunte equivalgono a dire $2k\pi \leq x \leq \pi + 2k\pi$.
Ora ponendo $t = \cos x$ nell'equazione iniziale si risolve la disequazione irrazionale $\sqrt{1 - t^2} + \sqrt{3}t - \sqrt{3} >0$, che fornisce come soluzioni $\frac{1}{2} < t < 1$. Tornando ora in $x$ ed intersecando le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza poste inizialmente si ha appunto $2k\pi < x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ come soluzione finale.

[giammaria2]

Ho due obiezioni alla soluzione di onlyReferee:
1) Non si ha nessun motivo per imporre $sinx>=0$ e quindi la formula da usare è $sinx=+-sqrt(1-cos^2x)$. In questo particolare esercizio si poteva dimostrare che vale il segno più, ma in generale non è così.
2) La soluzione delle disequazioni irrazionali è lunga e faticosa perché non basta elevare a quadrato; meglio evitarle.

[onlyReferee]

"giammaria":Ho due obiezioni alla soluzione di onlyReferee:
1) Non si ha nessun motivo per imporre $\sin x \geq 0$ e quindi la formula da usare è $sinx=+-sqrt(1-cos^2x)$. In questo particolare esercizio si poteva dimostrare che vale il segno più, ma in generale non è così.

Come si può arrivare dunque all'insieme di soluzioni $2k\pi < x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi$? Perché oltre a questo insieme di soluzioni per la disequazione corrente a me risulta anche $-\frac{\pi}{3} + 2k\pi < x < 2k\pi$ (che appunto non capisco per quale motivo va escluso). Effettivamente è vero, mi sono fatto fuorviare da quell'insensata imposizione su $sin x$.

"giammaria":
2) La soluzione delle disequazioni irrazionali è lunga e faticosa perché non basta elevare a quadrato; meglio evitarle.

Chiaro, bisogna costruire un (o due) sistema (sistemi) in base alla tipologia di disequazione irrazionale che si ha davanti (cosa che ovviamente ho fatto nella mia risoluzione solo che non l'ho riportato per motivi di brevità, volevo solo far capire l'idea).
Talvolta invece secondo me può essere utile confrontare i risultati applicando metodi diversi: si capisce più facilmente il punto in cui si è sbagliato ad applicare un metodo...

[giammaria2]

A seconda del segno del seno, davanti alla radice può esserci il più o il meno e quindi, posto $t=cosx$, dobbiamo distinguere in due casi:
${(sinx>=0),(sqrt(1-t^2)+sqrt3t-sqrt3>0):} vv {(sinx<0),(-sqrt(1-t^2)+sqrt3t-sqrt3>0):}$
Il secondo sistema non ha soluzioni mentre il primo, a calcoli fatti, diventa
${(sinx>=0),(1/2 che esclude la tua seconda soluzione.
Hai tutte le ragioni nel dire che è utile confrontare metodi diversi; dal confronto appena fatto emerge però questa conclusione: in equazioni e disequazioni, l'uso della prima formula fondamentale è sconsigliabile quando questo comporta l'introduzione di radici.

[onlyReferee]

Ok, era quel discorso del segno nella radice che non avevo considerato e che effettivamente porta a due diversi sistemi da risolvere.
Grazie per il chiarimento.