Disequazione trigonometrica
Me la date na mano con questa disequazione trigonometrica? 
Vi scrivo il mio procedimento, ditemi dove ho sbagliato perchè sono abbastanza certo che qualche errore c'è:
$log(cos^2x + 2cosx - 1)$
$cos^2x + 2cosx - 1 > 0$ | $cosx = y$
$y^2 + 2y - 1 > 0$
Vado a svolgere questa disequazione di secondo grado ed ho:
$y < -1 -sqrt(2)$ $uu$ $y > -1 +sqrt(2)$
I valori approssimati dei due risultati sono rispettivamente $-2.41$ e $0.41$. Applico la sostituzione:
$cosx < -1 -sqrt(2)$ -> $x < arccos(-1 -sqrt(2))$
$cosx > -1 +sqrt(2)$ -> $x > arccos(-1 +sqrt(2))$
Ma ora? L'arcocoseno a quei valori esiste? Come faccio a trovare il relativo valore in radianti?
Vi scrivo il mio procedimento, ditemi dove ho sbagliato perchè sono abbastanza certo che qualche errore c'è:
$log(cos^2x + 2cosx - 1)$
$cos^2x + 2cosx - 1 > 0$ | $cosx = y$
$y^2 + 2y - 1 > 0$
Vado a svolgere questa disequazione di secondo grado ed ho:
$y < -1 -sqrt(2)$ $uu$ $y > -1 +sqrt(2)$
I valori approssimati dei due risultati sono rispettivamente $-2.41$ e $0.41$. Applico la sostituzione:
$cosx < -1 -sqrt(2)$ -> $x < arccos(-1 -sqrt(2))$
$cosx > -1 +sqrt(2)$ -> $x > arccos(-1 +sqrt(2))$
Ma ora? L'arcocoseno a quei valori esiste? Come faccio a trovare il relativo valore in radianti?
Risposte
Ciao,
attento perchè una delle due è chiaramente impossibile, cioè $cos x < -1 -sqrt2$, visto che il coseno non può essere minore di $-1$.
L'altra invece viene $cos x > -1 + sqrt2 rArr cos x > 0.41$. Allora dobbiamo chiederci quali angoli hanno il coseno uguale a $0.41$ e prendere la parte di circonferenza goniometrica "a destra", visto che vogliamo il coseno maggiore di quel valore. Con la calcolatrice trovi $arccos 0.41 ~~ 65°31'...$. Risultato finale $-65°31' < x < 65°31'$ e ovviamente le periodicità.
Oppure lasci direttamente indicato $arccos (-1+sqrt2)$ e quindi scrivi $-arccos (-1+sqrt2) < x < arccos (-1+sqrt2)$.
Nota: ti ricordo che l'arco coseno ha come codominio $[0, pi]$.
attento perchè una delle due è chiaramente impossibile, cioè $cos x < -1 -sqrt2$, visto che il coseno non può essere minore di $-1$.
L'altra invece viene $cos x > -1 + sqrt2 rArr cos x > 0.41$. Allora dobbiamo chiederci quali angoli hanno il coseno uguale a $0.41$ e prendere la parte di circonferenza goniometrica "a destra", visto che vogliamo il coseno maggiore di quel valore. Con la calcolatrice trovi $arccos 0.41 ~~ 65°31'...$. Risultato finale $-65°31' < x < 65°31'$ e ovviamente le periodicità.
Oppure lasci direttamente indicato $arccos (-1+sqrt2)$ e quindi scrivi $-arccos (-1+sqrt2) < x < arccos (-1+sqrt2)$.
Nota: ti ricordo che l'arco coseno ha come codominio $[0, pi]$.
Io non posso mai approssimare un angolo in radianti ? Ovvero, in questa occasione lascio il valore in gradi oppure devo andare ad '' azzardare '' un valore in radianti di quell'angolo ??
E la periodicità è sempre $kpi$ ?
E la periodicità è sempre $kpi$ ?
"Mr.Mazzarr":
Io non posso mai approssimare un angolo in radianti ? Ovvero, in questa occasione lascio il valore in gradi oppure devo andare ad '' azzardare '' un valore in radianti di quell'angolo ??
E la periodicità è sempre $kpi$ ?
Per prima cosa la periodicità del coseno è $2 k pi$.
In quanto ai radianti... in realtà $arccos(-1+sqrt2)$ è già un valore in radianti (almeno nella quasi totalità dei linguaggi di programmazione). Se vuoi proprio il numerino puoi impostare la tipica proporzione \[ \alpha : 180° = \rho : \pi \] usando il valore approssimato al posto di $alpha$ ma normalmente non è necessario.
Per la cronaca l'angolo nel primo quadrante risulta $1.1437... rad$
Presumo, anche se non è stato specificato, che l'obbiettivo sia calcolare il dominio della funzione logaritmica.
L'arcocoseno è una funzione definita in $ [-1;1] $ , se ne fà una sezione perchè altrimenti la funzione coseno così com'è, non è biunivoca, quindi non è invertibile. In ogni caso il valore $ -1- sqrt(2) $ non è accetabile pechè non rientra nel dominio. di conseguenza la funzione logaritmica è definità in $x \in\] -arccos( -1 + sqrt(2)) ; arccos( -1 + sqrt(2)) [$
L'arcocoseno è una funzione definita in $ [-1;1] $ , se ne fà una sezione perchè altrimenti la funzione coseno così com'è, non è biunivoca, quindi non è invertibile. In ogni caso il valore $ -1- sqrt(2) $ non è accetabile pechè non rientra nel dominio. di conseguenza la funzione logaritmica è definità in $x \in\] -arccos( -1 + sqrt(2)) ; arccos( -1 + sqrt(2)) [$
Vabè, preferisco tenermi il valore in gradi. No? Più tranquillo
Giusto, la periodicità $kpi$ è la tangente.
Ma la disequazione di per se è esatta? L'esercizio finisce lì ?
@floriano: esatto. Parliamo di una funzione logaritmica. Quindi a prescindere i valori inferiori allo 0 non li posso accettare.
Giusto, la periodicità $kpi$ è la tangente.
Ma la disequazione di per se è esatta? L'esercizio finisce lì ?
@floriano: esatto. Parliamo di una funzione logaritmica. Quindi a prescindere i valori inferiori allo 0 non li posso accettare.
"Mr.Mazzarr":
L'esercizio finisce lì ?
Se l'esercizio era calcolare il dominio di quel logaritmo, allora sì è finito così.
Se per esempio ho il logaritmo il cui argomento è:
$arccos ((x-2)/(x+3))$
Quando vado a calcolare l'argomento maggiore di 0, posso lavorare solo sull'argomento dell'arcocoseno?
Cioè, dimmi se è esatto questo scritto sotto:
$arccos ((x-2)/(x+3)) > 0 ->$ $ x < -3 uu x > 2$
$arccos ((x-2)/(x+3))$
Quando vado a calcolare l'argomento maggiore di 0, posso lavorare solo sull'argomento dell'arcocoseno?
Cioè, dimmi se è esatto questo scritto sotto:
$arccos ((x-2)/(x+3)) > 0 ->$ $ x < -3 uu x > 2$
"Mr.Mazzarr":
Se per esempio ho il logaritmo il cui argomento è:
$arccos ((x-2)/(x+3))$
Quando vado a calcolare l'argomento maggiore di 0, posso lavorare solo sull'argomento dell'arcocoseno?
Cioè, dimmi se è esatto questo scritto sotto:
$arccos ((x-2)/(x+3)) > 0 ->$ $ x < -3 uu x > 2$
No è sbagliato.
Abbiamo detto che il codominio dell'arco coseno è $[0, pi]$, quindi è sempre positivo! L'unica cosa da imporre è $x != -3$.
In teoria dovresti imporre anche $(x-2)/(x+3) != 1$ perchè $arccos 1 = 0$ ma qui non ce n'è bisogno perchè $(x-2)/(x+3) = 1$ non ha soluzioni.
Aspetta. Essendo comunque un campo d'esistenza da svolgere, vado prima a porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero ( cioè l'arcocoseno con il relativo argomento ) e poi pongo l'argomento tra $-1$ e $1$, svolgendo in questo caso il campo d'esistenza dell'arcocoseno. In più, pongo come terzo elemento del sistema il denominatore diverso da zero.
"Mr.Mazzarr":
Aspetta. Essendo comunque un campo d'esistenza da svolgere, vado prima a porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero ( cioè l'arcocoseno con il relativo argomento ) e poi pongo l'argomento tra $-1$ e $1$, svolgendo in questo caso il campo d'esistenza dell'arcocoseno. In più, pongo come terzo elemento del sistema il denominatore diverso da zero.
Certo. Io dicevo solo che l'arcocoseno è sempre positivo. Ovviamente però deve esistere!
Quindi dovrai porre $-1 <= (x-2)/(x+3) < 1$ e basta.
Il fatto del denominatore diverso da zero ti viene automaticamente quando risolvi la disequazione sopra.
Quindi dici tu che porre
$arccos ((x-2)/(x+3)) > 0$
... è sbagliato ?
$arccos ((x-2)/(x+3)) > 0$
... è sbagliato ?
"Mr.Mazzarr":
Quindi dici tu che porre
$arccos ((x-2)/(x+3)) > 0$
... è sbagliato ?
Non è sbagliato... è inutile! E' come porre $x^2+1 > 0$
Eh ma sarà anche inutile, ma credo che per le regole del campo d'esistenza io debba farlo lo stesso
"Mr.Mazzarr":
Eh ma sarà anche inutile, ma credo che per le regole del campo d'esistenza io debba farlo lo stesso
Ok, questo è giusto, se non altro per far vedere che non te lo sei dimenticato. Quello che ti volevo dire è: non perdere tempo a "risolvere" quella disequazione perchè è sempre verificata!
Ah, ok! In pratica il risultato concreto di quella disequazione è $AA\ x in R$ escluso il punto $3$ ?
Risolvendo quella disequazione solo sull'argomento, con la regola dei segni, viene tutt'altro risultato.
Risolvendo quella disequazione solo sull'argomento, con la regola dei segni, viene tutt'altro risultato.
"Mr.Mazzarr":
Ah, ok! In pratica il risultato concreto di quella disequazione è $AA\ x in R$ escluso il punto $3$ ?
Risolvendo quella disequazione solo sull'argomento, con la regola dei segni, viene tutt'altro risultato.
Esatto, il punto era $-3$ ma non ha importanza. Quella che risolvi con la regola dei segni è un'altra disequazione, cioè $(x-2)/(x+3) > 0$ che non ha alcun senso risolvere.
Ah ecco, io questo principalmente volevo sapere. Quando ho una situazione di quel tipo se devo '' studiare '' l'arcocoseno in quel rapporto o se devo lavorare in disequazione con l'argomento !
Però avendo il logaritmo che deve essere maggiore, l'argomento dell'arcoseno lo devo comunque porre tra $-1$ e $1$ o tra $0$ e $1$ ?
Però avendo il logaritmo che deve essere maggiore, l'argomento dell'arcoseno lo devo comunque porre tra $-1$ e $1$ o tra $0$ e $1$ ?
"Mr.Mazzarr":
Ah ecco, io questo principalmente volevo sapere. Quando ho una situazione di quel tipo se devo '' studiare '' l'arcocoseno in quel rapporto o se devo lavorare in disequazione con l'argomento !
Però avendo il logaritmo che deve essere maggiore, l'argomento dell'arcoseno lo devo comunque porre tra $-1$ e $1$ o tra $0$ e $1$ ?
Temo che non ci siamo molto capiti...
L'argomento dell'arcocoseno deve solo fare in modo che questo arcocoseno esista (quindi va posto tra $-1$ e $1$) perchè poi a essere maggiore di zero ci pensa già da solo l'arcocoseno stesso!
L'arcocoseno è sempre maggiore di zero, purchè esista. Tu preoccupati della sua esistenza che con il segno se la vede da solo!
Aaaah ok! Quindi niente di particolare, l'argomento tra $-1$ e $1$ e l'arcocoseno maggiore di zero per regola perchè a prescindere lo sarebbe.
"Mr.Mazzarr":
Aaaah ok! Quindi niente di particolare, l'argomento tra $-1$ e $1$ e l'arcocoseno maggiore di zero per regola perchè a prescindere lo sarebbe.
Giusto!
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