Disequazione sul compito

silvia851-votailprof
ho la seguente disequazione:
$sqrt(x^2+2x)>=x$
non riesco però a svolgerla perchè la radice quadrata mi manda in confusione....come posso eliminarla?
la posso svolgere normalmente?
a voi l'insieme delle soluzioni vi risulta $ ]-oo,-2] $$U$$[0,+oo[$

Risposte
Gi81
Trattasi di disequazione irrazionale del tipo $rootn(f(x))>= g(x)$ con:
    [*:3m8c6oqs] $n=2$ (dunque pari);[/*:m:3m8c6oqs]
    [*:3m8c6oqs]$f(x)= x^2+2x$;[/*:m:3m8c6oqs]
    [*:3m8c6oqs]$g(x)=x$.[/*:m:3m8c6oqs][/list:u:3m8c6oqs]
    Quindi la puoi risolvere normalmente, cioè secondo il metodo standard che ti ho linkato.

_prime_number
Prima cosa: fai il dominio, visto che c'è una radice. Alla fine dovrai intersecare soluzione e dominio.
Quando c'è una radice, si può elevare entrambi i membri solo se solo entrambi positivi. In questo caso dunque dividiamo in due sottoproblemi:
$\{(x\geq 0),(x^2 +2x \geq x^2):}\cup \{(x<0),(\sqrt{x^2+2x}\geq x):}$
Nel primo sistema ho elevato perché ho posto $x\geq 0$. Naturalmente devi finire di risolverlo.
Nel secondo la seconda condizione è sempre vero perché una radice è sempre maggiore di un numero negativo. Dunque la soluzione del secondo sistema è $x<0$.

Paola

silvia851-votailprof
mmh...non ho capito bene cosa vuoi dire....ho visto il campo di esistenza ed è $x>=0$ ed $x>=-2$ fin qui ci siamo? ho fatto bene?

Gi81
"silvia_85":
ho visto il campo di esistenza ed è $x>=0$ ed $x>=-2$ fin qui ci siamo? ho fatto bene?
No. C'è qualcosa che non va. Controlla meglio

silvia851-votailprof
avendo $x^2+2x>=0$=$x(x+2)>=0$ le soluzioni sono $x>=0$ e $x<=-2$ adesso è esatto?

Gi81
Sì, così va bene

silvia851-votailprof
ok quindi una volta trovato il campo di esistenza....mi sono svolta la mia disequazione in questo modo:
$sqrt(x^2+2x)>=x$....ho elevato tutti e due i membri per eliminare la radice quadrata e ottengo:
$x^2+2x>=x^2$
$x^2+2x-x^2>=0$
$2x>=0$
$x>=-2$ giusto? ho svolto bene la mia disequazione?

Gi81
l'ultimo passaggio non è corretto

silvia851-votailprof
perchè?passando all'altro membro non cambia di segno?

Gi81
Se fosse stato $x+2>=0$ allora avresti avuto ragione.
Ma qui abbiamo $2x>=0$

silvia851-votailprof
mi vero...che sbadata, hai perfettamente ragione....e quindi?

Gi81
Dai, su! Non sai come si va avanti?

silvia851-votailprof
non so che dirti....magari sbaglio....ma $0/2$ non fa $oo$?
e poi sovrapponendo le soluzioni con il campo di esistenza si ottiene $]-oo,-2]U [0,+oo[$ perchè si prendono le soluzioni con segno $+$
cosi è giusto?

Gi81
"silvia_85":
non so che dirti....magari sbaglio....ma $0/2$ non fa $oo$?
:shock: Hai un po' di confusione in testa, forse frutto dei troppi esercizi che stai facendo simultaneamente.

Credo che faresti bene a fare una piccola pausa :-)

Non sto scherzando... riposati un attimino prima di ricominciare...
Se insisti nel fare esericizi ora peggiori solo le cose. Ricomincia tra mezz'ora, o dopo cena.
Comunque, $0/2=0$

Dunque $2x>=0$ equivale a $x>=0$

silvia851-votailprof
ma io ho scritto cosi, perchè essendo che era tra le possibili soluzioni pensavo fosse giusto, per $x>=0$ non c'è la soluzione sul compito (ma la soluzione sarebbe $[-2,+oo[$?)

Gi81
RIcapitoliamo: abbiamo la disequazione \[\sqrt{x^2 +2x}\geq x\] Condizioni di esistenza: \(x \leq -2 \wedge x \geq 0 \)

Si procede come ha scritto Paola: $\{(x\geq 0),(x^2 +2x \geq x^2):}\cup \{(x<0),(\sqrt{x^2+2x}\geq x):}$

Come già detto, il secondo sistema ha soluzione $x<0$.
Risolviamo il primo: ${(x>=0),(x^2 +2x \geq x^2):}=> {(x>=0),(2x \geq 0):}=> {(x>=0),(x \geq 0):}=> x>=0$

Quindi $\{(x\geq 0),(x^2 +2x \geq x^2):}\cup \{(x<0),(\sqrt{x^2+2x}\geq x):}$ è equivalente a $x>=0 vv x<0$, cioè a $AA x in RR$

La soluzione finale coinciderà pertanto con le condizioni di esistenza: \(x \leq -2 \wedge x \geq 0 \)

Utilizzando la scrittura insiemistica, la soluzione è $(-oo, -2] uu [0, +oo)$

silvia851-votailprof
ma perchè inverti il verso solo di $x>=0$ e non anche quello di $x^2+2x$? le disequazioni si fanno tutte con questo procedimento? non credo anche perchè ho svolto un'altra disequazione ma l'ho fatta normalmente, senza dover risolvere due sistemi

Gi81
Ma un libro di teoria o degli appunti non ce li hai?

silvia851-votailprof
ho delle slide ma sono un pò confuse....tu non mi puoi aiutare?

Gi81
E' buffo, credevo di averlo già fatto:
"Gi8":
Trattasi di disequazione irrazionale del tipo $rootn(f(x))>= g(x)$ con:
    [*:7u0vlg27] $n=2$ (dunque pari);[/*:m:7u0vlg27]
    [*:7u0vlg27]$f(x)= x^2+2x$;[/*:m:7u0vlg27]
    [*:7u0vlg27]$g(x)=x$.[/*:m:7u0vlg27][/list:u:7u0vlg27]
    Quindi la puoi risolvere normalmente, cioè secondo il metodo standard che ti ho linkato.

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