Disequazione simpatica!

[Sk_Anonymous]

Risolvere la seguente disequazione:

$log_2x+x^2>0

[clarkk]

mah..guardandola così, mi verrebbe da dire che la soluzione è la C.E.: $x>0$

[amandy1]

è sufficiente $x>x_1$ con $1/2

Cita

Segnala

[jacjac1991]

strano a me rsulta $00

[clarkk]

no $00$ che risulta valido

[amandy1]

"clarkk":mah..guardandola così, mi verrebbe da dire che la soluzione è la C.E.: $x>0$

...e se x=1/2 viene -1+1/4>0 quindi falso.

[amandy1]

Si risolve graficizzando le due funzioni $x^2$ e $log_2x$, poi se si vuole con algoritmi ricorsivi si può affinare la soluzione.

[jacjac1991]

ho provato a fare i grafici

la parabola è simmetrica all'asse y e con concavità verso l'alto,la funzione $log_2$ è positiva dopo l'uno e adesso?????

[amandy1]

"jacjac1991":ho provato a fare i grafici

la parabola è simmetrica all'asse y e con concavità verso l'alto,la funzione $log_2$ è positiva dopo l'uno e adesso?????

Confrontare le funzioni serve per verificare la relazione $x^2> -log_2x$ e noterai che si incrociano in un punto compreso tra 1/2 e 1.
Da quel punto in poi la parabola sarà maggiore del log e quindi dall'ascissa di quel punto sarà verificata la disequazione.

[jacjac1991]

graficamente non vedo l'incrocio a $1/2$ i puoi postare il grafico????

[amandy1]

attento al segno del log

[jacjac1991]

si ok il segno ma la base del log è $>1$ quindi la funzione $log_2x$ da valori negativi passa a valori positivi per il segno non diventa $log_2(1/x)$ ???????

[amandy1]

Il $log_2 1/x$ è una funzione decrescente identica a $log_(1/2)x$... prova sostituire dei valori con soluzioni prevedibili (1/16,1/8,1/4,1/2,1,2,4,8,16...) e vedrai che sorpresa!!!

[jacjac1991]

non vedo l'immagine !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[amandy1]

non sono riuscito ad inserirla... sorry

[jacjac1991]

ok quado riuscirai va bene ugualmente ma concordi con me che la base del log è maggiore di 1 e quindi la funzione passa da valori negativi a valori positivi ????

[amandy1]

"amandy":Il $log_2 1/x$ è una funzione decrescente identica a $log_(1/2)x$... prova sostituire dei valori con soluzioni prevedibili (1/16,1/8,1/4,1/2,1,2,4,8,16...) e vedrai che sorpresa!!!

[codino75]

"jacjac1991":ok quado riuscirai va bene ugualmente ma concordi con me che la base del log è maggiore di 1 e quindi la funzione passa da valori negativi a valori positivi ????

la parabola che devi considerare non e' x^2 bensi' -x^2, in quanto devi trovare i valori che annullano il primo membro, quindi e' come se al posto della disuagualglianza dovessi considerare una uguaglianza e porti x^2 dall'altra parte.

[Sk_Anonymous]

Allora ragazzi...
ci troviamo di fronte ad un logaritmo in base due.
Ricordo che
$log_ab$ è un numero positivo nel caso in cui $01$ $"e contemporaneamente"$ $b>1$.
Il campo di esistenza porta a dire che deve essere $x>0$;inoltre osserviamo che la base del nostro logaritmo è $2$ per cui tale logaritmo è positivo se $x>1
quindi posto $0t

[franced]

"Ene@":Risolvere la seguente disequazione:

$log_2x+x^2>0

Allora: è chiaro che per valori molto grandi la disequazione è soddisfatta;
per valori di $x$ molto piccoli (ma pur sempre $>0$, vito che c'è il logaritmo)
la disequazione non è soddisfatta in quanto il log tende a $- \infty$ per $x \rightarrow 0^+$.
Dal momento che le due funzioni sono crescenti ci sarà un valore di confine,
per il quale otterremo $log_{2}x+x^2=0$.

Tutti i valori più grandi di questo valore soglia saranno soluzione della disequazione scritta.

[franced]

Il valore soglia è $x=sqrt(2)/2$, dal momento che:

$log_2 (sqrt(2))/2 = log_2 1/sqrt(2) = log_2 2^{-1/2} = -1/2 = - (sqrt(2)/2)^2$

Quindi la soluzione della "simpatica" disequazione è $x > sqrt(2)/2$