Disequazione logaritmica con esponenziale

[OminideFurbis]

Buonasera a tutti, devo risolvere questa disequazione logaritmica con esponenziale però non so se il confronti degli esponenti che ho fatto sia giusto o meno:

$ log_2(4^(x+1)-2)-4x-1<= 0 $

io ho provato a fare:

$ log_2(4^(x+1)-2)<= 4x+1 $

$ 4^(x+1)-2<= 2^(4x+1) $

$ 2^(2x+2)-2^1<= 2^(4x+1) $ quindi confronto gli esponenti

$ 2x+2-1 <= 4x+1 $

$ -2x <= 0 $

$ x >= 0 $

va bene così?

[ghira1]

"Alberto02":
$ 2^(2x+2)-2^1<= 2^(4x+1) $ quindi confronto gli esponenti

$ 2x+2-1 <= 4x+1 $

Siamo sicuri di poter fare questo?

[axpgn]

Quando arrivi qui $ 2^(2x+2)-2^1<= 2^(4x+1) $ "semplifica" un pochino così $0<=2*(2^(2x))^2-4*2^(2x)-2$ e poni $t=2^(2x)$

[OminideFurbis]

Ho provato con quella semplificazione tuttavia non funziona...
quindi, usando un risolutore online(che non fa vedere i passaggi ma solo il risultato) ho provato a vedere se ad ogni passaggio della semplificazione il risultato rimanesse invariato oppure no. Ho così visto che quando levo il logartimo il risultato cambia... quindi forse sbaglio il passaggio "con log" -> "senza log":

qua $ log_2(4^(x+1)-2)<=4x+1 $ il risultato è $ x > -(1/2) $
mentre nel passaggio successivo $ 4^(x+1)-2<=2^(4x+1) $ il risultato cambia e diventa "tutti i numeri reali"

[axpgn]

Perché dici che non funziona? Fai vedere i conti che hai fatto ...

[OminideFurbis]

ti allego il procedimento

[axpgn]

Le immagini vanno inserite solo se necessario (perché prima o poi spariscono e il thread risulterebbe monco) e qui non lo è.

Per quanto riguarda il problema, è vero che giungi alla soluzione è $RR-{0}$ ma ti sei dimenticato del C.E.

[OminideFurbis]

vero hai ragione...
tuttavia però ottengo $ x> -(1/2) ; x != 0 $
invece dovrei avere solo $ x> -(1/2) $

[axpgn]

Perché escludi lo zero?

[OminideFurbis]

escludo lo zero perchè la disequazione ha come risultato $ x<0 V x>0 $

[axpgn]

Quale disequazione? Questa $2t^2-4t+2>=0$?

Non mi pare che venga escluso $2t^2-4t+2>=0\ ->\ t^2-2t+1>=0\ (t-1)^2>=0\ -> \t in RR$

[sfrasson1]

Io l'avrei risolta così.
Semplifichiamo l'espressione all'interno del logaritmo

$4x + 1 - 2 = 4x - 1$

Quindi l'equazione diventa:

$log2(4x - 1) ≤ 4x + 1$

Ora analizziamo due casi:

1) Se $4x - 1 > 0$, ovvero $x > 1/4$:

In questo caso, la disequazione è valida. Possiamo eliminare il logaritmo e risolvere l'equazione esponenziale:

$2^(log2(4x - 1)) ≤ 2^(4x + 1)$

$ 4x - 1 ≤ 16x + 2$

$ -12x ≤ 3$

$ x ≥ -1/4
$
Tuttavia, questa soluzione non soddisfa la restrizione iniziale $x > 1/4$, quindi la scartiamo.

2) Se $4x - 1 ≤ 0$, ovvero $ x ≤ 1/4$:

In questo caso, il logaritmo non è definito per valori inferiori a 1, quindi non possiamo considerare questa parte dell'intervallo.

Pertanto, la soluzione della disequazione originale è $x > 1/4$.

Quindi la conclusione corretta è: $x > 1/4$.

[axpgn]

"sfrasson":Quindi la conclusione corretta è: $x > 1/4$.

No.

[ingres]

"sfrasson":Quindi la conclusione corretta è: $x>1/4$.

No, la conclusione corretta è quella evidenziata da Alex e determinata dal solo campo di esistenza, visto che la disequazione in se è sempre soddisfatta, ovvero $x gt-1/2$. Per chi avesse ancora dei dubbi questa è la funzione a primo membro della disequazione.

[OminideFurbis]

"axpgn":Quale disequazione? Questa $2t^2-4t+2>=0$?

Non mi pare che venga escluso $2t^2-4t+2>=0\ ->\ t^2-2t+1>=0\ (t-1)^2>=0\ -> \t in RR$

sicuramente sto sbagliando qualcosa, io ragiono così:

$ t^2 -2t+1 >=0$

faccio il delta

$ Delta = 4-4*1*1 = 0 $

$ t_1 ; t_2 = (2 +- 0)/2 = 1$

$ t_1 ; t_2 = 1 -> 2^(2x) = 1 -> 2^(2x) = 2^0 -> 2x = 0 -> x = 0 $

regola DICE (Discordi Interni, Concordi Esterni): il segno del coefficente dell'incognita di 2 grado è positivo e il simbolo di disequazione è positivo quindi essendo concordi si ha

$ x < 0 U x>0 $

per cui lo 0 è escluso e quando vado a fare il grafico tabellare confrontando con $ x> -1/2 $
se non sbaglio otterrei $ x > -1/2 ; x!=0 $ tuttavia questo risultato è sbagliato perchè dovrei avere solo $ x> -1/2 $

[ingres]

"Alberto02":regola DICE (Discordi Interni, Concordi Esterni): il segno del coefficiente dell'incognita di 2 grado è positivo e il simbolo di disequazione è positivo quindi essendo concordi si ha...

La disequazione non ha "simbolo" positivo ma $ge$. Quindi le soluzioni per cui si annulla sono accettabili ovvero t=1 (x=0) è una soluzione accettabile.

[OminideFurbis]

Non ci credo..... ho penato 2 giorni per niente!!! Maremma ragazzi

vi ringrazio tantissimo, senza di voi sarei rimasto bloccato su un sassolino per chissà quanto!!

[axpgn]

Prima di tutto ti sei dimenticato che era una disequazione e non un'equazione, poi si vede a colpo d'occhio che questa $(t-1)^2>=0$ è vera sempre (non è mai negativa).

Quindi avremo $-infty

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