Disequazione logaritmica con base inferiore a uno....
Ciao a tutti ho una disequazione semplice però ho dei dubbi sulla risoluzione, l'esercizio è:
$log_(3/5)((x+1)/(x-1))>=0$ l'insieme di defizione è dato da: $D:{(x+1)/(x-1)>0 rarr {(x>(-1)),(x>1):}$ $rArr$ $D:{x>1}$
essendo un la base del logaritmo compresa tra zero e uno allora la disuguaglianza s'inverte e segue che:
${(D),(0<=(x+1)/(x-1)<=1):}$ ora in questo modo diventa un sistema un pò ingarbugliato c'è un'altro modo per non complicare le cose ed evitare errori???
$log_(3/5)((x+1)/(x-1))>=0$ l'insieme di defizione è dato da: $D:{(x+1)/(x-1)>0 rarr {(x>(-1)),(x>1):}$ $rArr$ $D:{x>1}$
essendo un la base del logaritmo compresa tra zero e uno allora la disuguaglianza s'inverte e segue che:
${(D),(0<=(x+1)/(x-1)<=1):}$ ora in questo modo diventa un sistema un pò ingarbugliato c'è un'altro modo per non complicare le cose ed evitare errori???
Risposte
Giusto. Ci sarebbe anche qualche altra cosetta a cui badare, ma per ora è meglio non confonderti le idee; comunque non sono strettamente inerenti all'argomento in questione.
ok, quindi ritornando all'esercizio e aggiustando un pò le cose avrò:
$log_(3/5)((x+1)/(x-1))>=0$ $rArr$ $D:{(x+1)/(x-1)} rarr x<-1 uuu x>1$
${(D),(0<=(x+1)/(x-1)<=1):} rarr {(D),((x+1)/(x-1)>=0),((x+1)/(x-1)<=1):} rarr {(D),((x+1)>=0),((x+1-x+1)/(x-1)<=0):} rarr {(D),(x>=-1),(2/(x-1)<=0):} rarr {(D),(x>=-1),(text{prendo i valori - da}: 2>=0 uuu x-1>=0 rarr AA x<=1 ):} rarr {(D),(x>=-1),(x<=1):}$ e non si trova perchè?
$log_(3/5)((x+1)/(x-1))>=0$ $rArr$ $D:{(x+1)/(x-1)} rarr x<-1 uuu x>1$
${(D),(0<=(x+1)/(x-1)<=1):} rarr {(D),((x+1)/(x-1)>=0),((x+1)/(x-1)<=1):} rarr {(D),((x+1)>=0),((x+1-x+1)/(x-1)<=0):} rarr {(D),(x>=-1),(2/(x-1)<=0):} rarr {(D),(x>=-1),(text{prendo i valori - da}: 2>=0 uuu x-1>=0 rarr AA x<=1 ):} rarr {(D),(x>=-1),(x<=1):}$ e non si trova perchè?
La prima riga va così modificata (la } è venuta male):
$log_(3/5)((x+1)/(x-1))>=0$ $rArr$ $D:{(x+1)/(x-1)$ >0} $rarr x<-1 uuu x>1$
Nella seconda disequazione del sistema è inutile imporre che la frazione sia maggiore di zero (l'uguale sarebbe comunque sbagliato) perchè lo sai già dal dominio. La soluzione che ne dai è sbagliata: confrontala con quello che hai fatto per il dominio.
Ti resta quindi da risolvere solo l'ultima disequazione, che (dopo aver portato tutto a primo membro e ridotto i termini simili) si risolve velocemente dicendo "poiché il numeratore è positivo, la frazione non è mai nulla ed è negativa quando lo è il denominatore", risolvendo poi solo $x-1<0$. Si può anche fare come hai fatto tu, studiando il segno di numeratore e denominatore: non sono però collegati dall'unione, ma dalla regola dei segni.
Perchè dici che non si trova? Le due disequazioni (il dominio e quest'ultima) sono entrambe verificate per $x< -1$
$log_(3/5)((x+1)/(x-1))>=0$ $rArr$ $D:{(x+1)/(x-1)$ >0} $rarr x<-1 uuu x>1$
Nella seconda disequazione del sistema è inutile imporre che la frazione sia maggiore di zero (l'uguale sarebbe comunque sbagliato) perchè lo sai già dal dominio. La soluzione che ne dai è sbagliata: confrontala con quello che hai fatto per il dominio.
Ti resta quindi da risolvere solo l'ultima disequazione, che (dopo aver portato tutto a primo membro e ridotto i termini simili) si risolve velocemente dicendo "poiché il numeratore è positivo, la frazione non è mai nulla ed è negativa quando lo è il denominatore", risolvendo poi solo $x-1<0$. Si può anche fare come hai fatto tu, studiando il segno di numeratore e denominatore: non sono però collegati dall'unione, ma dalla regola dei segni.
Perchè dici che non si trova? Le due disequazioni (il dominio e quest'ultima) sono entrambe verificate per $x< -1$
capito tu dici è inutile che si calcola $(x+1)/(x-1)>=0$ visto che comunque nel dominio ho calcolato la stessa ma strettamente maggiore di zero.....
per la soluzione che ho dato, ho pensato che visto che è una fratta, si deve imporre il denominatore $>0$ e allora la soluzione mi viene già dal dominio e quindi ho imposto solo il numeratore $>=0$ (che nel dominio non ho fatto) e mi viene $x>=-1$....
per l'ulitma c'è anche un'errore quando ho imposto il denominatore $>=0$ mentre dovevo fare $>0$...
al posto delll'unione dovevo scrivere $2>=0, x-1>0$?
per la soluzione che ho dato, ho pensato che visto che è una fratta, si deve imporre il denominatore $>0$ e allora la soluzione mi viene già dal dominio e quindi ho imposto solo il numeratore $>=0$ (che nel dominio non ho fatto) e mi viene $x>=-1$....
per l'ulitma c'è anche un'errore quando ho imposto il denominatore $>=0$ mentre dovevo fare $>0$...
al posto delll'unione dovevo scrivere $2>=0, x-1>0$?
Siamo d'accordo sul fatto che la seconda disequazione è inutile: potremmo anche cancellare tutto ciò che la riguarda e non pensarci più. E' però sempre bene capire i propri errori per non commetterli di nuovo, quindi esaminiamo quello che dici, cioè
" ho pensato che visto che è una fratta, si deve imporre il denominatore $>0$ e allora la soluzione mi viene già dal dominio e quindi ho imposto solo il numeratore $>=0$ (che nel dominio non ho fatto) e mi viene $x>=-1$....".
Cosa intendi dicendo che la soluzione ti viene già dal dominio? Quello ammette anche numeri minori di -1. Forse ti riferisci al dominio che, sbagliando, avevi trovato inizialmente ma non certo a quello corretto.
Complimenti per aver trovato un errore che mi era sfuggito: effettivamente dovevi fare $D>0$.
Chedi "al posto delll'unione dovevo scrivere $2>=0, x-1>0$?". Sì, con regola dei segni.
" ho pensato che visto che è una fratta, si deve imporre il denominatore $>0$ e allora la soluzione mi viene già dal dominio e quindi ho imposto solo il numeratore $>=0$ (che nel dominio non ho fatto) e mi viene $x>=-1$....".
Cosa intendi dicendo che la soluzione ti viene già dal dominio? Quello ammette anche numeri minori di -1. Forse ti riferisci al dominio che, sbagliando, avevi trovato inizialmente ma non certo a quello corretto.
Complimenti per aver trovato un errore che mi era sfuggito: effettivamente dovevi fare $D>0$.
Chedi "al posto delll'unione dovevo scrivere $2>=0, x-1>0$?". Sì, con regola dei segni.
"giammaria":
esaminiamo quello che dici, cioè
" ho pensato che visto che è una fratta, si deve imporre il denominatore $>0$ e allora la soluzione mi viene già dal dominio e quindi ho imposto solo il numeratore $>=0$ (che nel dominio non ho fatto) e mi viene $x>=-1$....".
Cosa intendi dicendo che la soluzione ti viene già dal dominio? Quello ammette anche numeri minori di -1. Forse ti riferisci al dominio che, sbagliando, avevi trovato inizialmente ma non certo a quello corretto.
Nel senso che il dominio è anch'esso rappresentato da una fratta e quindi $(x+1)/(x-1)>0 rarr x+1>0, x-1>0$ mentre nel sistema era $(x+1)/(x-1)>=0 rarr x+1>=0, x-1>0$ e visto che l'implicazione* ( $>0$) del numeratore della prima fratta e l'implicazione* ($>=0$) del numeratore della seconda fratta non coincidono allora era opportuno calcolarlo...
mentre, per quanto riguarda i denominatori, le condizioni coincidono, quindi ho pensato che non aveva senso calcolarlo nel sistema, visto che già c'era la soluzione per questa disequazione quando l'ho calcolata per il dominio...
*è sbagliato dire implicazione?
Implicazione significa che da qualcosa consegue qualcos'altro; in pratica, che c'è il simbolo $->$. Le tue possono essere chiamate condizioni, o meglio imposizioni.
Per il resto: come ti ho già detto, l'uguale a zero non doveva esserci, perchè l'argomento di un logaritmo non può valere zero. Ma ammettiamo pure che, in un problema di altro tipo, ci fosse: non puoi considerare solo un pezzo di un calcolo. E' come se tu, avendo già risolto $x<(3+2)/(7-3) -> x<5/4$ e volendo risolvere $x<=(3+2)/(7-3)$ scrivessi "ho già considerato il denominatore, quindi lo trascuro e ottengo $x<=5$. Se questo ragionemento non ti convince, prova a fare veramente tutti i calcoli, e vedrai che il risultato non è quello che dici.
Per il resto: come ti ho già detto, l'uguale a zero non doveva esserci, perchè l'argomento di un logaritmo non può valere zero. Ma ammettiamo pure che, in un problema di altro tipo, ci fosse: non puoi considerare solo un pezzo di un calcolo. E' come se tu, avendo già risolto $x<(3+2)/(7-3) -> x<5/4$ e volendo risolvere $x<=(3+2)/(7-3)$ scrivessi "ho già considerato il denominatore, quindi lo trascuro e ottengo $x<=5$. Se questo ragionemento non ti convince, prova a fare veramente tutti i calcoli, e vedrai che il risultato non è quello che dici.
ottengo lo stesso risultato ottenuto per il dominio solo le condizioni cambiano però....
Dovresti aver ottenuto $x<= -1 uuu x>1$ e non la $x>=-1$ che avevi scritto.
si si infatti ottengo quel risultato....
Ma quindi quando ho la base compresa tra zero e uno, il caso che devo imporre l'argomento maggiore oppure maggiore uguale a zero non lo devo considerare?
Perchè facendo delle osservazioni il caso maggiore di zero è già considerato nel dominio quindi non ce n'è bisogno;
metre il maggiore o uguale a zero è sbagliato perchè l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero, e pure se ammettiamo che si può scrivere maggiore di zero allora in questo caso come detto prima già ci pensa il dominio...è giusto?
Ma quindi quando ho la base compresa tra zero e uno, il caso che devo imporre l'argomento maggiore oppure maggiore uguale a zero non lo devo considerare?
Perchè facendo delle osservazioni il caso maggiore di zero è già considerato nel dominio quindi non ce n'è bisogno;
metre il maggiore o uguale a zero è sbagliato perchè l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero, e pure se ammettiamo che si può scrivere maggiore di zero allora in questo caso come detto prima già ci pensa il dominio...è giusto?
Sì, è giusto.
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