Disequazione logaritmica con base inferiore a uno....

[kioccolatino90]

Ciao a tutti ho una disequazione semplice però ho dei dubbi sulla risoluzione, l'esercizio è:
$log_(3/5)((x+1)/(x-1))>=0$ l'insieme di defizione è dato da: $D:{(x+1)/(x-1)>0 rarr {(x>(-1)),(x>1):}$ $rArr$ $D:{x>1}$

essendo un la base del logaritmo compresa tra zero e uno allora la disuguaglianza s'inverte e segue che:

${(D),(0<=(x+1)/(x-1)<=1):}$ ora in questo modo diventa un sistema un pò ingarbugliato c'è un'altro modo per non complicare le cose ed evitare errori???

[_Matteo_C1]

Ciao, puoi scrivere lo $0$ come logaritmo, e poi mettere in relazione i due argomenti, ricordando che il logaritmo in base $0

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[kioccolatino90]

in questo modo: $log_(3/5)((x+1)/(x-1))>= log_(3/5)0$ ????

[giammaria2]

Attento: D è $x<-1 vv x>1$. Inoltre hai calcolato D imponendo che la frazione sia positiva, quindi non occorre più imporlo nella seconda disequazione.

[_Matteo_C1]

Già, e poi nel secondo membro della disequazione c'è un errore. Devi trasformare lo $0$ in un logaritmo in base $3/5$.. Tieni a mente la definizione di logaritmo!

$log_(3/5) a =0$ $rarr $ $(3/5)^0=a$ qualè $a$?

[giammaria2]

A me non pare ci siano errori: domy09 ha scritto $(x+1)/(x-1)<=1$. O mi sfugge qualcosa?

[kioccolatino90]

Si si ho scritto bene là!!!!!
comunque non capisco perchè il D è $x<-1 uuu x>1$ nei logaritmi non si prendono solo i valori continui quando si disegna la retta $RR$???

[giammaria2]

Nei logaritmi si prendono solo i valori per cui tutti gli argomenti sono positivi: nel tuo caso c'è un unico argomento che è una frazione, quindi devi applicare la regola dei segni. La tua risposta sarebbe stata giusta se l'esercizio fosse stato $log(x+1)-log(x-1)>=0$. Non ho indicato la base, che non modifica questo ragionamento.

[_Matteo_C1]

Sopra la scritta bene, però qui hmmm:

domy90:in questo modo: $log_(3/5)((x+1)/(x-1))>= log_(3/5)0$ ????

E' sbagliata o sono diventato scemo :-) ?

[giammaria2]

Hai ragione, quella scritta è sbagliata. Però i quattro punti interrogativi possono anche indicare un certo disaccordo; io comunque avevo considerato l'intervento precedente.

[kioccolatino90]

"giammaria":. La tua risposta sarebbe stata giusta se l'esercizio fosse stato $log(x+1)-log(x-1)>=0$. Non ho indicato la base, che non modifica questo ragionamento.

ma quest'esercizio non lo posso vedere come: $log((x+1)/(x-1))>=0$??? e quindi: $D=(x+1)/(x-1)>0$ $rarr$ $x+1>0, x-1>0$ $rarr$ $x>(-1), x>1$ disegno sulla retta e visto che è una fratta faccio la regola dei segni e ho che il dominio è: $D:{x<-1 uuu x>1}$ o sbaglio?

[giammaria2]

Le proprietà dei logaritmi valgono a condizione che esistano tutti i logaritmi di cui si parla, e non è il nostro caso. Le due espressioni $log(x+1)-log(x-1)$ e $log ((x+1)/(x-1))$ sono uguali fra loro dove tutto esiste, cioè per $x>1$, mentre per $x< -1$ la prima non ha senso perchè gli argomenti sono negativi, mentre ne ha la seconda che ha argomento positivo.

[kioccolatino90]

"giammaria": Le due espressioni $log(x+1)-log(x-1)$ e $log ((x+1)/(x-1))$ sono uguali fra loro dove tutto esiste, cioè per $x>1$, mentre per $x< -1$ la prima non ha senso perchè gli argomenti sono negativi, mentre ne ha la seconda che ha argomento positivo.

ma per prima e seconda indendi le disequazioni $log(x+1)-log(x-1)$, $log ((x+1)/(x-1))$ o gli argomernti della prima disequazione $log(x+1)-log(x-1)$???

[giammaria2]

Intendo le espressioni, cioè le cose scritte; non potrei intendere disequazioni perchè nel mio ultimo intervento non ce ne sono. Proviamo a prendere un numero minore di -1, ad esempio $x=-2$; si ha
$log(x+1)-log(x-1)=log(-1)-log(-3)$ che non ha senso. Invece
$log((x+1)/(x-1))=log((-1)/(-3))= log(1/3)$ ne ha.

[kioccolatino90]

In questo caso la base è maggiore di uno mentre se c'era stata come base minore di uno ma maggiore di zero allora il dominio era $x<-1 uuu x>1$???

[giammaria2]

Quando si pensa al dominio, non ha importanza il fatto che la base sia maggiore di 1 o compresa fra zero e uno: questo serve solo per stabilire se il verso della disequazione cambia o no quando si tolgono i logaritmi. Avevo anche precisato che non scrivevo la base perchè non modificava la questione di cui ci occupavamo, ma evidentemente, a giorni di distanza, non lo ricordi.

[kioccolatino90]

hai ragione, no mi ero più concentrato sulla disequazione....
forse ho capito cosa vuoi dirmi con il tuo ragionamento, in pratica che bisogna considerare sempre la disequazione di partenza e quando essa è definita anche se si applicano le proprietà....giusto?

[giammaria2]

Quello che volevo dire è che il dominio va trovato sulla disequazione così come è data, e non come si modificherebbe applicando qualche proprietà. Questo vale anche al di fuori dei logaritmi e per le equazioni: ad esempio l'equazione $(x(x-3))/(x-3)=3$ è impossibile perchè il dominio è $x!=3$ e rende non accettabile la soluzione che si ottiene semplificando la parentesi.

[kioccolatino90]

ok capito, però se si modifica con qualche peoprietà ricordarsi sempre la disequazione data in partenza...o sbaglio?

[giammaria2]

Bé, ricordarsi sempre del dominio trovato: il resto della disequazione interessa poco.

[kioccolatino90]

cioè dico che se la trasformo e calcolo il dominio con quello ottenuto dalla trasformazione devo sempre ricordarmi della disequazione in partenza però così non conviene perchè si rischia di dover calcolare un'altro dominio per la disequazione in partenza, e così fare confusione...
quindi dico che in conclusione, devo sempre calcolare il dominio della disequazione in partenza e non calcolare il dominio della disequazione dopo trasformata....è giusto?