Disequazione logaritmica (59536)

[Ecce]

Ciao a tutti ho qualche difficolta con questa maledettissima:

[math]\frac{log_{3}x+1}{log_{3}x-1} - \frac{log_{3}x+2}{log_{3}x-2} +3 \leq 0[/math]

Dunque, c'era un errore e il 3 era positivo. Ho provato a rifarla con lo studio del segno, ma continua a venirmi sbagliata. Provo a postarti il mio procedimento integralmente, non riesco proprio a capire dove sbaglio.

Condizioni di esistenza

[math]\begin{cases} x>0 \\ x\ne3 \\ x\ne9
\end{cases}[/math]

Dato che non solo i logaritmi devono esistere, ma i denominatori devono essere diversi da 0, e quindi i valori dei logaritmi non devono renderli nulli.

Minimo comune multiplo

[math]\frac{log_{3}x+1}{log_{3}x-1} - \frac{log_{3}x+2}{log_{3}x-2} +3 \leq 0[/math]

[math]\frac{(log_{3}x+1)(log_{3}x-2)-(log_{3}x+2)(log_{3}x-1)+3(log_{3}x-1)(log_{3}x-2)}{(log_{3}x-1)(log_{3}x-2)} \leq 0[/math]

Svolgo il numeratore e il denomitaore

[math]\frac{3(log_{3}x)^2 -11log_{3}x +6}{(log_{3}x)^2 -3log_{3}x +2} \leq 0[/math]

Ora se applico la sostituzione il procedimento diventa abbastanza banale, ottengo due equazioni di secondo grado, al numeratore che è negativa nell'intervallo

[math]\frac{2}{3} \leq x < 3[/math]

mentre il denominatore

[math]1 \leq x \leq 2[/math]

.

Gli intervalli in cui la disequazione risulta verificata incrociati con le CE risultano quindi

[math]\frac{2}{3} \leq x \leq 1 \bigvee 2 \leq x < 3[/math]

.

Mi pare non vi siano errori, eppure la soluzione è diversa da quella del mio libro, che presenta un esercizio simile poco sotto con soluzioni simili.

Credo che la ragione sia che è necessario applicare la proprietà del logaritmo

[math]log_{3}f(x)>log_{3}g(x)[/math]

uguale a

[math]f(x)>g(x)[/math]

quando x>1
La sostituzione non può quindi essere eseguita senza considerare che lo 0 deve essere trasformato in 1 infatti

[math]log_{3}1=0[/math]

, pensi che sia corretto questo ragionamento? Io dopo mi incasino nei calcoli...

[BIT5]

Il minimo comune multiplo e' il prodotto dei denominatori (ovviamente l'argomento del logaritmo e' solo la x, nulla in matematica viene lasciato al caso)

Quindi l'argomento di tutti i logaritmi e' x, e pertanto condizione di esistenza sara' x>0

Pero' penso di aver capito dove sbagli..

Mentre alla fine di un'equazione, posto il denominatore diverso da zero, lo puoi eliminare, in una disequazione questo non lo puoi fare!

Quando hai una qualunque disequazione:

[math] \frac{N(x)}{D(x)} > 0 [/math]

(o minore, come vuoi)

Non devi eliminare il denominatore, ma risolvere

[math] N(x)>0 \\ \\ \\ D(x)>0 [/math]

e poi studiare il grafico dei segni.

Tu hai fatto cosi'?

Secondo me hai solo risolto N(x)>0...

Aggiunto 22 ore 52 minuti più tardi:

[math]\frac{log_{3}x+1}{log_{3}x-1} - \frac{log_{3}x+2}{log_{3}x-2} -3 \leq 0[/math]

Vediamola insieme..

[math] \frac{ (\log_3x+1)(\log_3x-2) - (\log_3x+2)(\log_3x-1)-3(\log_3x-1)(\log_3x-2)}{(\log_3x-1)(\log_3x-2)} \le 0 [/math]

Quindi:

[math] \frac{\no{\log^2_3x}-\no{2\log_3x}+\no{\log_3x}-2-\no{\log^2_3x}+\no{\log_3x}-2\log_3x+2-3\log^2_3x+6\log_3x+3\log_3x-6}{(\log_3x-1)(\log_3x-2)} \le 0 [/math]

Applico un attimo una sostituzione, altrimenti non mi passa piu'..

[math] \log_3x=t [/math]

[math] \frac{-3t^2+7t-6}{(t-1)(t-2)} \le 0 [/math]

Quindi:

NUMERATORE MAGGIORE DI ZERO:

[math] -3t^2+7t-6>0 \to 3t^2-7t+6