Disequazione Letterale risoluzione discussione
Sto cercando di fare un po' di esercizi sulle disequazioni letterali, questa è la disequazione: $x^2-(k-3)x-2(k-1)>0$
Ho risolto la disequazione ma non mi è chiara la discussione sui paramentri.
Qualcuno mi aiuta a risolverla commentando i risultati al variare del parametro? ($k+1>0$, $k+1<0$ e $k+1=0$)
grazie
Ho risolto la disequazione ma non mi è chiara la discussione sui paramentri.
Qualcuno mi aiuta a risolverla commentando i risultati al variare del parametro? ($k+1>0$, $k+1<0$ e $k+1=0$)
grazie

Risposte
Innanzitutto puoi dire che la disequazione è
verificata per ogni $x in RR$ se e solo se $Delta=(k-3)^2+8(k-1)<0$,
cioè se e solo se il discriminante del polinomio
a primo membro è negativo. In questo caso non si ha mai $Delta<0$
(verificalo), quindi non è vero che la disequazione è vera $AAx in RR$.
Deduciamo allora che può essere solo $Delta>=0$, non essendo $Delta<0$,
quindi bisognerà risolvere esplicitamente la disequazione di secondo grado...
verificata per ogni $x in RR$ se e solo se $Delta=(k-3)^2+8(k-1)<0$,
cioè se e solo se il discriminante del polinomio
a primo membro è negativo. In questo caso non si ha mai $Delta<0$
(verificalo), quindi non è vero che la disequazione è vera $AAx in RR$.
Deduciamo allora che può essere solo $Delta>=0$, non essendo $Delta<0$,
quindi bisognerà risolvere esplicitamente la disequazione di secondo grado...
a me viene cosi':
delta (cioe' $b^2-4ac$ ) : $(k+1)^2$
quindi delta mai negativo
ciao
delta (cioe' $b^2-4ac$ ) : $(k+1)^2$
quindi delta mai negativo
ciao
Certo, sviluppando $(k-3)^2+8(k-1)$ trovi esattamente $(k+1)^2$...
Calcolo il delta dell'equazione $x^2-(k-3)x-2(k-1)=0$
Il delta=$(k-3)^2+8(k-1)=k^2-6k+9+8k-8=k^2+2k+1=(k+1)^2$
Poi determino le soluzioni dell'equazione:
$x=((k-3)+-(k+1))/2=
$x=(k-3+k+1)/2=(2k-2)/2=(2(k-1))/2=(k-1)$ 1° soluzione
$x=(k-3-k-1)/2=-4/2=-2$ 2° soluzione
La parabola ha concavità rivolta verso l’alto e noi cerchiamo i valori che si trovano nel semipiano positivo delle ordinate. A seconda del valore assunto dal parametro otterrò risultati differenti, quindi:
Se $(k-1)>0$ allora avrò $x<-2 vvv x>(k-1)$
Se $(k-1)<0$ allora avrò $x<(k-1) vvv x> -2$
Se $(k-1)=0$ il libro fornisce $x!=-2$ come mai?
E' corretto questo ragionamento per risolvere una disequazione letterale?
Il delta=$(k-3)^2+8(k-1)=k^2-6k+9+8k-8=k^2+2k+1=(k+1)^2$
Poi determino le soluzioni dell'equazione:
$x=((k-3)+-(k+1))/2=
$x=(k-3+k+1)/2=(2k-2)/2=(2(k-1))/2=(k-1)$ 1° soluzione
$x=(k-3-k-1)/2=-4/2=-2$ 2° soluzione
La parabola ha concavità rivolta verso l’alto e noi cerchiamo i valori che si trovano nel semipiano positivo delle ordinate. A seconda del valore assunto dal parametro otterrò risultati differenti, quindi:
Se $(k-1)>0$ allora avrò $x<-2 vvv x>(k-1)$
Se $(k-1)<0$ allora avrò $x<(k-1) vvv x> -2$
Se $(k-1)=0$ il libro fornisce $x!=-2$ come mai?
E' corretto questo ragionamento per risolvere una disequazione letterale?
non ho fatto i calcoli quindi ti rispondo solo sul ragionamento:
per scrivere correttamente le soluzioni bisogna individuare quale tra le due soluzioni della disequazione originaria viene prima e quale viene dopo sull'asse, cosa che mi pare tu abbia fatto correttamente.
inoltre, per quanto riguarda il caso di (k-1)=0 la parabola e' sempre nel semipiano positivo delle ordinate tranne che nel punto x=-2 in cui si annulla (e quindi tale punto non e' strettamente soluzione della disequazione originaria).
per scrivere correttamente le soluzioni bisogna individuare quale tra le due soluzioni della disequazione originaria viene prima e quale viene dopo sull'asse, cosa che mi pare tu abbia fatto correttamente.
inoltre, per quanto riguarda il caso di (k-1)=0 la parabola e' sempre nel semipiano positivo delle ordinate tranne che nel punto x=-2 in cui si annulla (e quindi tale punto non e' strettamente soluzione della disequazione originaria).
"firimbindr":
Calcolo il delta dell'equazione $x^2-(k-3)x-2(k-1)=0$
Il delta=$(k-3)^2+8(k-1)=k^2-6k+9+8k-8=k^2+2k+1=(k+1)^2$
Poi determino le soluzioni dell'equazione:
$x=((k-3)+-(k+1))/2=
$x=(k-3+k+1)/2=(2k-2)/2=(2(k-1))/2=(k-1)$ 1° soluzione
$x=(k-3-k-1)/2=-4/2=-2$ 2° soluzione
La parabola ha concavità rivolta verso l’alto e noi cerchiamo i valori che si trovano nel semipiano positivo delle ordinate. A seconda del valore assunto dal parametro otterrò risultati differenti, quindi:
Se $(k-1)>0$ allora avrò $x<-2 vvv x>(k-1)$
Se $(k-1)<0$ allora avrò $x<(k-1) vvv x> -2$
Se $(k-1)=0$ il libro fornisce $x!=-2$ come mai?
E' corretto questo ragionamento per risolvere una disequazione letterale?
Il discriminante è $Delta=(k+1)^2>=0 AA k in RR$ per cui la disequazione avrà sempre soluzioni $AA k in RR$. In particolare per $k=-1$ la disequazione diventa $x^2+4x+4=(x+2)^2>0$ ed è soddisfatta $AAx in RR-{2}$ cioè $AA x!=-2$.
Per $k!=-1$, le soluzioni sono quelle da te trovate $x_1=k-1$ e $x_2=-2$. Ovviamente la disequazione è soddisfatta per intervalli esterni.
In particolare:
1) se $k-1> -2$ $<=>$ $k> -1$ la disequazione è soddisfatta per $x>k-1$ $U$ $x< -2$
2) se $k-1< -2$ $<=>$ $k< -1$ la disequazione è soddisfatta per $x> -2$ $U$ $x
Grazie a tutti !

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