Disequazione Letterale risoluzione discussione

[firimbindr]

Sto cercando di fare un po' di esercizi sulle disequazioni letterali, questa è la disequazione: $x^2-(k-3)x-2(k-1)>0$
Ho risolto la disequazione ma non mi è chiara la discussione sui paramentri.
Qualcuno mi aiuta a risolverla commentando i risultati al variare del parametro? ($k+1>0$, $k+1<0$ e $k+1=0$)

grazie

[fireball1]

Innanzitutto puoi dire che la disequazione è
verificata per ogni $x in RR$ se e solo se $Delta=(k-3)^2+8(k-1)<0$,
cioè se e solo se il discriminante del polinomio
a primo membro è negativo. In questo caso non si ha mai $Delta<0$
(verificalo), quindi non è vero che la disequazione è vera $AAx in RR$.
Deduciamo allora che può essere solo $Delta>=0$, non essendo $Delta<0$,
quindi bisognerà risolvere esplicitamente la disequazione di secondo grado...

[codino75]

a me viene cosi':

delta (cioe' $b^2-4ac$ ) : $(k+1)^2$
quindi delta mai negativo

ciao

[fireball1]

Certo, sviluppando $(k-3)^2+8(k-1)$ trovi esattamente $(k+1)^2$...

[firimbindr]

Calcolo il delta dell'equazione $x^2-(k-3)x-2(k-1)=0$

Il delta=$(k-3)^2+8(k-1)=k^2-6k+9+8k-8=k^2+2k+1=(k+1)^2$

Poi determino le soluzioni dell'equazione:
$x=((k-3)+-(k+1))/2=
$x=(k-3+k+1)/2=(2k-2)/2=(2(k-1))/2=(k-1)$ 1° soluzione
$x=(k-3-k-1)/2=-4/2=-2$ 2° soluzione

La parabola ha concavità rivolta verso l’alto e noi cerchiamo i valori che si trovano nel semipiano positivo delle ordinate. A seconda del valore assunto dal parametro otterrò risultati differenti, quindi:
Se $(k-1)>0$ allora avrò $x<-2 vvv x>(k-1)$
Se $(k-1)<0$ allora avrò $x<(k-1) vvv x> -2$
Se $(k-1)=0$ il libro fornisce $x!=-2$ come mai?

E' corretto questo ragionamento per risolvere una disequazione letterale?

[codino75]

non ho fatto i calcoli quindi ti rispondo solo sul ragionamento:
per scrivere correttamente le soluzioni bisogna individuare quale tra le due soluzioni della disequazione originaria viene prima e quale viene dopo sull'asse, cosa che mi pare tu abbia fatto correttamente.
inoltre, per quanto riguarda il caso di (k-1)=0 la parabola e' sempre nel semipiano positivo delle ordinate tranne che nel punto x=-2 in cui si annulla (e quindi tale punto non e' strettamente soluzione della disequazione originaria).

[_nicola de rosa]

"firimbindr":Calcolo il delta dell'equazione $x^2-(k-3)x-2(k-1)=0$

Il delta=$(k-3)^2+8(k-1)=k^2-6k+9+8k-8=k^2+2k+1=(k+1)^2$

Poi determino le soluzioni dell'equazione:
$x=((k-3)+-(k+1))/2=
$x=(k-3+k+1)/2=(2k-2)/2=(2(k-1))/2=(k-1)$ 1° soluzione
$x=(k-3-k-1)/2=-4/2=-2$ 2° soluzione

La parabola ha concavità rivolta verso l’alto e noi cerchiamo i valori che si trovano nel semipiano positivo delle ordinate. A seconda del valore assunto dal parametro otterrò risultati differenti, quindi:
Se $(k-1)>0$ allora avrò $x<-2 vvv x>(k-1)$
Se $(k-1)<0$ allora avrò $x<(k-1) vvv x> -2$
Se $(k-1)=0$ il libro fornisce $x!=-2$ come mai?

E' corretto questo ragionamento per risolvere una disequazione letterale?

Il discriminante è $Delta=(k+1)^2>=0 AA k in RR$ per cui la disequazione avrà sempre soluzioni $AA k in RR$. In particolare per $k=-1$ la disequazione diventa $x^2+4x+4=(x+2)^2>0$ ed è soddisfatta $AAx in RR-{2}$ cioè $AA x!=-2$.
Per $k!=-1$, le soluzioni sono quelle da te trovate $x_1=k-1$ e $x_2=-2$. Ovviamente la disequazione è soddisfatta per intervalli esterni.
In particolare:
1) se $k-1> -2$ $<=>$ $k> -1$ la disequazione è soddisfatta per $x>k-1$ $U$ $x< -2$
2) se $k-1< -2$ $<=>$ $k< -1$ la disequazione è soddisfatta per $x> -2$ $U$ $x

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[firimbindr]

Grazie a tutti !