Disequazione letterale
Salve a tutti, ho trovato su un libro di concorsi per marina questo esercizio:
$(sqrt(3)+1)^(sqrt(1-x))-2aAbs(1-sqrt(3))^(sqrt(1-x))>a$, con $ainRR$, ma non riesco minimamente a risolverlo. Ho provato a mettere in evidenza la $a$ applicando il principio del trasporto e poi dividendo tutto per il fattore rimasto, ho provato a razionalizzare all'interno delle parentesi tonde, ho provato con i logaritmi. C'è qualcuno che potrebbe darmi un input? In anticipo ringrazio.
Vincenzo
$(sqrt(3)+1)^(sqrt(1-x))-2aAbs(1-sqrt(3))^(sqrt(1-x))>a$, con $ainRR$, ma non riesco minimamente a risolverlo. Ho provato a mettere in evidenza la $a$ applicando il principio del trasporto e poi dividendo tutto per il fattore rimasto, ho provato a razionalizzare all'interno delle parentesi tonde, ho provato con i logaritmi. C'è qualcuno che potrebbe darmi un input? In anticipo ringrazio.
Vincenzo
Risposte
Cosa chiede esattamente l'esercizio?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Risoluzione della disequazione con discussione.
Cominciamo dalla discussione 
$x<=1$
Per $a<=0$ la disequazione è vera per ogni $x$ del dominio.
La riscrivo così $ (sqrt(3)+1)^(sqrt(1-x))-a[1+2*Abs(1-sqrt(3))^(sqrt(1-x))]>0 $, il contenuto della parentesi quadra è $<=3$ quindi $ (sqrt(3)+1)^(sqrt(1-x))>3a $.
Usando i logaritmi, otteniamo $sqrt(1-x)*ln(1+sqrt(3))>ln(3a)\ ->\ sqrt(1-x) > ln(3a)/ln(1+sqrt(3))$, da cui $1-[ln(3a)/ln(1+sqrt(3))]^2 > x$
Approssimata ma più di così non so ...
Cordialmente, Alex
$x<=1$
Per $a<=0$ la disequazione è vera per ogni $x$ del dominio.
La riscrivo così $ (sqrt(3)+1)^(sqrt(1-x))-a[1+2*Abs(1-sqrt(3))^(sqrt(1-x))]>0 $, il contenuto della parentesi quadra è $<=3$ quindi $ (sqrt(3)+1)^(sqrt(1-x))>3a $.
Usando i logaritmi, otteniamo $sqrt(1-x)*ln(1+sqrt(3))>ln(3a)\ ->\ sqrt(1-x) > ln(3a)/ln(1+sqrt(3))$, da cui $1-[ln(3a)/ln(1+sqrt(3))]^2 > x$
Approssimata ma più di così non so ...
Cordialmente, Alex
La soluzione è $a<1/3$
Cosa intendi per "soluzione"?
Certo, per quei valori di $a$, la disequazione è verificata per tutti i valori del dominio; ma questa non è una funzione ma una disequazione, la quale è verificata per valori di $a$ maggiori di $1/3$ a fronte di un insieme più "ristretto" delle $x$
Cordialmente, Alex
Certo, per quei valori di $a$, la disequazione è verificata per tutti i valori del dominio; ma questa non è una funzione ma una disequazione, la quale è verificata per valori di $a$ maggiori di $1/3$ a fronte di un insieme più "ristretto" delle $x$
Cordialmente, Alex
Non credo sia così Alex: ha molto più senso se il problema posto è parametrico.
Tant'è che nella discussione non importa nemmeno se si fa un cambio di variabile, ovvero si cambia il dominio.
Per $a<1/3$ la disequazione è soddisfatta per ogni valore assunto dalla variabile indipendente nel suo dominio e nessuno ha chiesto di restringerlo...ma ho la soluzione anche in quel caso.
Posso mostrare il mio procedimento ma pensavo che @anonymous_c5d2a1 volesse prima provarci da solo...magari con qualche dritta per semplificare il problema.
Tant'è che nella discussione non importa nemmeno se si fa un cambio di variabile, ovvero si cambia il dominio.
Per $a<1/3$ la disequazione è soddisfatta per ogni valore assunto dalla variabile indipendente nel suo dominio e nessuno ha chiesto di restringerlo...ma ho la soluzione anche in quel caso.
Posso mostrare il mio procedimento ma pensavo che @anonymous_c5d2a1 volesse prima provarci da solo...magari con qualche dritta per semplificare il problema.
Salve ragazzi, sto leggendo con piacere i vostri messaggi e vi ringrazio. Purtroppo tutti i fogli con i conteggi fatti li ho cestinati da un sacco di mesi (peccato). Però ho fatto tanti tentativi come riportato nel mio primo messaggio, ma non riuscivo ad uscirne.
"anonymous_c5d2a1":
Però ho fatto tanti tentativi come riportato nel mio primo messaggio, ma non riuscivo ad uscirne.
Ma vuoi almeno provarci o no?
Se è così ti fornisco una lista di suggerimenti iniziali (osservazioni + semplificazioni) da cui partire
Stai calmo!!! Bello rilassato. Ho semplicemente chiesto per vedere come lo avrebbero risolto gli altri utenti. Mille grazie ad axpgn molto educato e sopratutto disponibile come sempre.
@Bokonon
@anonymous_c5d2a1 non mi pare sia uno studente, spesso aiuta gli studenti.
Di solito viene qui quando si imbatte in qualcosa di poco chiaro (e spesso sono i libri o i docenti che sbagliano) e penso che ci abbia veramente provato tanto.
Per quanto riguarda il problema, @anonymous_c5d2a1 ha scritto, su mia richiesta, testualmente "Risoluzione della disequazione con discussione" e io sto a quello
Cordialmente, Alex
@anonymous_c5d2a1 non mi pare sia uno studente, spesso aiuta gli studenti.
Di solito viene qui quando si imbatte in qualcosa di poco chiaro (e spesso sono i libri o i docenti che sbagliano) e penso che ci abbia veramente provato tanto.
Per quanto riguarda il problema, @anonymous_c5d2a1 ha scritto, su mia richiesta, testualmente "Risoluzione della disequazione con discussione" e io sto a quello
Cordialmente, Alex
Bravissimo axpgn hai detto tutto con esattezza. Nel mio tempo libero, aiuto un sacco di ragazzi del mio paese e di paesi un po più lontani. Studio e faccio volontariato per il mio paese a 1000. Grazie ancora axpgn.
Questa è la soluzione di Wolfram
Cordialmente, Alex
@anonymous_c5d2a1
[ot]Forse tu non te lo ricorderai ma ci siamo scontrati pure noi due, (tanto) tempo fa
Abbiamo tutti un certo caratterino[/ot]
Cordialmente, Alex
@anonymous_c5d2a1
[ot]Forse tu non te lo ricorderai ma ci siamo scontrati pure noi due, (tanto) tempo fa
Abbiamo tutti un certo caratterino
[/ot]
Hai ragione è vero. Ci siamo scontrati si. Però dai tutto passa poi. Grazie ancora e buona serata.
"anonymous_c5d2a1":
Però dai tutto passa poi.
È proprio vero ... (punta di malinconia
)Cordialmente, Alex
Ma che cavolo ne sapevo io?
@anonymous_c5d2a1 mica hai scritto "ditemi cosa fareste"?
Io tendo per natura a semplificare il problema in un altro problema, magari più generale.
Cambiamo il dominio ponendo $sqrt(1-x)=y$ pertanto $y>=0$. Il cambio è irrilevante e si può tornare a quello precedente quando si vuole (meglio alla fine...ma vedremo che non serve).
Il modulo è fisso pertanto $|1-sqrt(3)|=sqrt(3)-1=h$ pertanto osserviamo che $0
Questo ci semplifica le cose e osserviamo anche che $hk=2$ e $k^2=2(k+1)$ e infine che $k/h=(k+1)$
Torneranno utili in seguito nelle semplificazioni.
Sostituendo abbiamo quindi $k^y-2ah^y>a rArr f(y)=k^y/(1+2h^y)>a$
Dalle osservazioni precedenti quindi sappiamo che $lim_(y->oo) k^y=+oo$ e $lim_(y->oo) h^y=0$.
Inoltre $k^y>0$ sempre, $h^y>0$ sempre e infine anche $f(y)>0$ sempre
Pertanto $lim_(y->oo) f(y)=+oo$ e $f(0)=1/3$
Ora resta da vedere se $f(y)$ ha dei punti critici ed eventualmente di che tipo sono.
$f'(y)=(k^y[ln(k)(1+2h^y)-2h^yln(h)])/(1+2h^y)^2=0$
Da cui $ln(k)(1+2h^y)-2h^yln(h)=0 rArr h^y=-ln(k)/ln[(k+1)^2]$
(ci si arriva usando le proprietà dei logaritmi e le osservazioni precedenti)
Sempre per le osservazioni precedenti, poichè $k>1$ e ovviamente pure $(k+1)^2>1$, l'equazione precedente ci dice che deve esistere un $y$ tale per cui $h^y<0$ e questo è impossibile.
Pertanto non vi sono punti critici e $f(y)$ è una funzione positiva, monotona strettamente crescente.
Ergo, il suo minimo globale è $f(0)=1/3$
Importa tornare alla variabile x? Nah, il risultato resta identico, cambia solo il dominio.
E se restringiamo il dominio della funzione in $[k,oo[$? Allora $a
@anonymous_c5d2a1 mica hai scritto "ditemi cosa fareste"?
Io tendo per natura a semplificare il problema in un altro problema, magari più generale.
Cambiamo il dominio ponendo $sqrt(1-x)=y$ pertanto $y>=0$. Il cambio è irrilevante e si può tornare a quello precedente quando si vuole (meglio alla fine...ma vedremo che non serve).
Il modulo è fisso pertanto $|1-sqrt(3)|=sqrt(3)-1=h$ pertanto osserviamo che $0
Questo ci semplifica le cose e osserviamo anche che $hk=2$ e $k^2=2(k+1)$ e infine che $k/h=(k+1)$
Torneranno utili in seguito nelle semplificazioni.
Sostituendo abbiamo quindi $k^y-2ah^y>a rArr f(y)=k^y/(1+2h^y)>a$
Dalle osservazioni precedenti quindi sappiamo che $lim_(y->oo) k^y=+oo$ e $lim_(y->oo) h^y=0$.
Inoltre $k^y>0$ sempre, $h^y>0$ sempre e infine anche $f(y)>0$ sempre
Pertanto $lim_(y->oo) f(y)=+oo$ e $f(0)=1/3$
Ora resta da vedere se $f(y)$ ha dei punti critici ed eventualmente di che tipo sono.
$f'(y)=(k^y[ln(k)(1+2h^y)-2h^yln(h)])/(1+2h^y)^2=0$
Da cui $ln(k)(1+2h^y)-2h^yln(h)=0 rArr h^y=-ln(k)/ln[(k+1)^2]$
(ci si arriva usando le proprietà dei logaritmi e le osservazioni precedenti)
Sempre per le osservazioni precedenti, poichè $k>1$ e ovviamente pure $(k+1)^2>1$, l'equazione precedente ci dice che deve esistere un $y$ tale per cui $h^y<0$ e questo è impossibile.
Pertanto non vi sono punti critici e $f(y)$ è una funzione positiva, monotona strettamente crescente.
Ergo, il suo minimo globale è $f(0)=1/3$
Importa tornare alla variabile x? Nah, il risultato resta identico, cambia solo il dominio.
E se restringiamo il dominio della funzione in $[k,oo[$? Allora $a
"anonymous_c5d2a1":
Stai calmo!!! Bello rilassato. Ho semplicemente chiesto per vedere come lo avrebbero risolto gli altri utenti. Mille grazie ad axpgn molto educato e sopratutto disponibile come sempre.
Calmati tu che sei stato maleducato e pretendo delle scuse dato che:
"anonymous_c5d2a1":
C'è qualcuno che potrebbe darmi un input?
Ti ho solo offerto quello che hai chiesto
Ti saluto, ma la maleducazione non mi appartiene. La lascio a te, non l'abbandonare mai.
"anonymous_c5d2a1":
Ti saluto, ma la maleducazione non mi appartiene. La lascio a te, non l'abbandonare mai.
Nemmeno di fronte all'evidenze:
1) lo hai chiesto tu
2) nessuno ti ha offeso, hai fatto tutto da solo e dio solo sa quali terribili pensieri ti affliggono
Mi fai un po' pena ma penso che possiamo chiuderla qua. Per me sei dimenticabile, addio
"anonymous_c5d2a1":
Ti saluto, ma la maleducazione non mi appartiene.
Forse non ti appartiene la maleducazione, ma l'aggressività ingiustificata sì.
Nessuno è obbligato a conoscere i tuoi precedenti e da come hai postato il quesito sembravi uno studente in difficoltà, per cui il comportamento di Bokonon è stato congruo.
Risposta errata. Cancellatemi tranquillamente dal vostro sito. Ancora mille grazie ad axpgn, SEMPRE CORRETTO ED EDUCATO.
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