Disequazione irrazionale e Provvidenza

[Fiammetta.Cerise]

Buon pomeriggio a tutti!
Oggi sono stata interrogata in matematica e ho preso 7. E vabbè 7-! Comunque sia, ho avuto una fortuna sfacciata. Come ultimo esercizio la prof mi ha fatto fare una disequazione irrazionale di 2° grado:
$ sqrt(|1-x^2|) Ho scritto: $|1-x^2|= { ( 1-x^2 hArr x<=1 ),( x^2-1 hArr x>1 ):} $ . Ho impostato i due sistemi relativi:
$ { ( x<=1 ),( sqrt(1-x^2)1 ),( sqrt(x^2-1) Ho risolto il secondo sistema perché mi sembrava più facile e mi è uscito $ S=x>1$.
Poi mi è piombata addosso tutta la fortuna di questo mondo e ho visto un chiaro segno che la Provvidenza esiste: è suonata la campanella!! E non mi ha fatto risolvere il primo sistema HIHI Mo ha detto: "Ok brava ho capito che hai fatto un grande miglioramento, vai a posto!". Ma io non sapevo (e non so) risolverlo!! Non ho fatto alcun miglioramento =|.
Non si può elevare al quadrato la seconda disequazione, giusto? Perché non si sa se il secondo membro è positivo. Scommetto che questo non c'entra niente ^^ Come devo fare?

[^Tipper^1]

Scusa, ma che cambia tra il 1° e il 2° sistema?

[Fiammetta.Cerise]

Niente dici?
Non lo so sento che cambia qualcosa...
Perché io so che per elevare al quadrato i membri di una disequazione, essi devono essere positivi, ma non so se $x+1$ è positivo perché come dice la prima disequazione del sistema, $x<=1$ e pensa se la $x$ fosse -4, il secondo membro sarebbe negativo.
No forse sto sparando una castroneria dietro l'altra =(

[^Tipper^1]

Risolvi$ sqrt(x^2-1)1$

[blackbishop13]

spero che la tua professoressa si sia distratta, o che tu ti ricordi male, perchè ci sono erroracci.

$sqrt(|x^2-1|)$ non si tratta certo come dici tu, infatti se proprio vuoi togliere il modulo, devi farlo in maniera corretta:

e $x^2-1>=0$ ha come soluzione $-1<=x<=1$ non le brutte cose che hai scritto.

verranno altri sistemi, e con le radici bisogna poi fare attenzione.

[Fiammetta.Cerise]

Ho provato a risolvere la disequazione come mi ha detto Mirino06, ho fatto il sistemino e poi ho unito le soluzioni con quell'altro ed ecco che mi è saltato fuori il risultato che doveva venire =)
Comunque, la nostra professoressa ci ha insegnato che ogni volta che vediamo un valore assoluto dobbiamo fare i due sistemi e nel mio caso le ho detto che non c'era bisogno di vedere se i radicandi fossero positivi o nulli perché era un modulo nella disequazione iniziale, e poi nei due sistemi erano per forza positivi o nulli perché erano vincolati dalle prime disequazioni. No no non si è distratta, forse è fallace proprio il metodo che ci ha insegnato e ciò non mi desterebbe meraviglia! Mi fido più di voi =)

[mathmum]

"blackbishop13":s... devi farlo in maniera corretta:

e $x^2-1>=0$ ha come soluzione $-1<=x<=1$

forse è il caso di dare una ripassatina alle disequazioni di 2° grado...

[leena1]

"mathmum":[quote="blackbishop13"]s... devi farlo in maniera corretta:

e $x^2-1>=0$ ha come soluzione $-1<=x<=1$

forse è il caso di dare una ripassatina alle disequazioni di 2° grado...[/quote]

Ho visto tanti post in cui @blackbishop13 aiuta i ragazzi, sono sicura che è stato un errore di ditrazione..

Cerchiamo di riordinare un po' le idee..

Quando si deve svolgere un valore assoluto si fa in questo modo:

$|f(x)|={\(f(x), \text{se } f(x)>=0),(-f(x), \text{se } f(x)<0):}$

Però, attenzione, $x^2-1>=0$ non implica $x>1$

Da

$x^2-a>=0$ con $a>0$
si ha:
$x<=-sqrta $ U $ x>=sqrta$

mentre da

$x^2-a<0$ con $a>0$
si ha:
$-sqrta

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[Fiammetta.Cerise]

Quindi dovevo solo andare avanti e svolgere la disequazione del primo sistema? O.o

[leena1]

Devi riscrivere i sistemi a seconda del valore assoluto...

[blackbishop13]

ok ok ho fatto casino, mi faccio perdonare, e visto che mi pare che fiammetta sia un po' in difficoltà, risolvo l'esercizio bene, senza cose di troppo, facendo vedere i passsaggi cruciali:

$sqrt(|1-x^2|) prima cosa, in generale, verifichiamo che l'argomento della radice sia maggiore o uguale a $0$, è verificato per ogni $x$ perchè c'è il modulo.
allora imposto due sistemi, uno in cui il secondo membro della disequazione $x+1$ è negativo, l'altro in cui è positivo.

sistema I
${(x+1<0),(sqrt(|1-x^2|) senza nemmeno andare a fare calcoli, io so che una radice, quando esiste, è positiva o nulla, quindi sempre maggiore di una quantità negativa:
quindi il sistema non ha soluzione.

sistema II
${(x>=-1),(sqrt(|1-x^2|) si elevano al quadrato i membri della seconda disequazione perchè entrambi positivi o nulli:
${(x>=-1),(|1-x^2| adesso notiamo che dobbiamo ancora dividere due casi, ovvero esplicitare $|x^2-1|$
si ha $|x^2-1|=1-x^2$ se $-1<=x<=1$
e $|x^2-1|=x^2-1$ se $x>1$ (è l'unico caso che ci interessa visto che nel nostro sistema c'è la condizione $x>=-1$

quindi ci sono da risolvere i due sottosistemi
${(1>=x>=-1),(1-x^21),(x^2-1
non riporto i passaggi, visto che sono semplici disequazioni, ma alla fine i risultati di ciascun sistema sono:
${(1>=x>=-1),(x>0 vv x<-1):}$ e ${(x>1),(-1 ovvero rispettivamente $01$
alla fine vanno ovviamente uniti e si ottiene il fatidico risultato di $sqrt(|1-x^2|)0$

[Fiammetta.Cerise]

Ooo grazie a tutti, soprattutto a blackbishop13! Sei fantastico =)!
Mamma mia che stress queste disequazioni irrazionali...voglio tornare alle care e vecchie addizioni in N =(
Grazie di nuovo a tutti, chissà che caos avrei combinato alla lavagna, mi avrebbe dato 2 al posto di 7- ^^