Disequazione goniometrica con valore assoluto

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Giobbo89

20 ott 2015, 15:02

Ciao a tutti.
Sto facendo degli esercizi per riprendere la mano con equazioni, disequazioni e quant'altro di propedeutico per lo studio di funzioni ed altri argomenti correlati.
Mi sono imbattuto in questa particolare disequazione: $cos(x+|x|)>0$
Ora, solitamente, quando trovo disequazioni simili (nel senso di due "tipi" innestati, come per esempio $log(sqrt(x+5)>0$) imposto la risoluzione partendo da quella "più esterna" (perdonate il mio uso di termini improprio) per poi occuparmi dell'altra. Riprendendo l'esempio scritto nella parentesi, imposterei prima l'apposito sistema per la risoluzione della disequazione logaritmica e successivamente quelli per quella irrazionale.

Ma in quella goniometrica con valore assoluto non riesco a procedere in questo modo.
L'unica possibile risoluzione che mi viene in mente, è quella di impostare PRIMA i due sistemi per il valore assoluto (uno per $x>=0$ e uno per $x<0$, con rispettivamente $x$ e $-x$ che vanno a sostituire il valore assoluto) e nei due sistemi occuparmi del coseno.
Ma mi sembra una strada errata giusto?
Come devo procedere?
Sono dubbi che per comodità ho applicato alla prima disequazione del genere che ho trovato, ma anche $(sin(x))/(sqrt(1-2sin(x)))>1$ mi provoca lo stesso problema (se non peggiore

).
Ringrazio chiunque avrà voglia e tempo di aiutarmi a capire.

Risposte

Gi81

20 ott 2015, 15:05

$cos(x+|x|)>0$
Esatto, la cosa da fare è "eliminare" il valore assoluto.

Se $x>=0$ si ha $|x|=x$,
per cui la disequazione da risolvere diventa $cos(2x)>0$ (te la lascio risolvere)
Invece, se $x<0$ si ha $|x| = -x$,
e abbiamo $cos(x-x)>0$, cioè $cos(0)>0$, che è vera perchè il coseno di $0$ è $1$.

@melia

20 ott 2015, 16:57

"Giobbo89":
... ma anche $(sin(x))/(sqrt(1-2sin(x)))>1$ mi provoca lo stesso problema ...

Per questa disequazione ti propongo prima un cambiamento di variabile che, anche se non è obbligatorio perché si può lavorare senza, ti renda l'esercizio più digeribile.
Posto $sin x = t$, l'esercizio diventa $t/(sqrt(1-2t))>1$, che viste le tue premesse non dovrebbe crearti problemi. Alla fine otterrai $sqrt2 -1
$sin x =1/2$ dà due soluzioni alle quali va poi aggiunto il periodo del seno, le due soluzioni sono $x_1 = arcsin (1/2) =pi/6$ e $x_2 =pi- arcsin(1/2)= 5/6 pi$,
mentre $sin x=sqrt2-1$ ammette le due soluzioni $ x_1=arcsin(sqrt2-1)$ e $x_2=pi-arcsin(sqrt2-1)$ alle quali poi va aggiunto il periodo del seno

Tornando alla disequazione
$arcsin(sqrt2-1) +2kpi< x < pi/6+2kp vv 5/6pi +2kpi < x < pi -arcsin(sqrt2-1) +2kpi$ con $k in ZZ$

Giobbo89

21 ott 2015, 07:11

"Gi8":
$cos(x+|x|)>0$
Esatto, la cosa da fare è "eliminare" il valore assoluto.

Se $x>=0$ si ha $|x|=x$,
per cui la disequazione da risolvere diventa $cos(2x)>0$ (te la lascio risolvere)
Invece, se $x<0$ si ha $|x| = -x$,
e abbiamo $cos(x-x)>0$, cioè $cos(0)>0$, che è vera perchè il coseno di $0$ è $1$.

Innanzitutto ti ringrazio.
Quindi avevo intuito correttamente.
Quindi, se $x<0$ si ha $|x| = -x$ e di conseguenza $cos(0)>0$, che è vera.
Mentre, se $x>=0$ si ha $|x|=x$ e di conseguenza $cos(2x)>0$.
Provo a risolvere qua questa, perché ho un paio di dubbi circa la risoluzione.
Abbiamo che $cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)=1-2sin^2(x)$, quindi $1-2sin^2(x)>0$ giusto?
A questo punto per semplicità conviene sostituire $sin^2(x)=t^2$ e risolvere così la disequazione di secondo grado $t^2-1<0$ che dà come risultati $t<+-sqrt(2)/2$. Reinserendo il seno, si ha $-sqrt(2)/2 $-pi/4+2kpi $3/4pi+2kpi che si può anche scrivere (per via della periodicità) $-pi/4+kpi 1° dubbio: potevo anche fare semplicemente $cos(2x)>0$ quindi $-pi/2+2kpi<2x 2° dubbio: tale risultato è il risultato della mia disequazione di partenza $cos(x+|x|)>0$? Oppure devo in qualche modo tenere conto del $x>=0$ imposto per eliminare il modulo? E, in tal caso, come influisce sul mio risultato? Devo tenere buoni solo i punti della circonferenza in cui effettivamente x è maggiore di zero? Quindi $-pi/4+2kpi

Giobbo89

21 ott 2015, 07:17

"@melia":
[quote="Giobbo89"]... ma anche $(sin(x))/(sqrt(1-2sin(x)))>1$ mi provoca lo stesso problema ...

).
Tale sostituzione posso quindi farla in ogni caso giusto? Chiaramente per ogni caso intendo una volta che in qualche modo, se si ha una disequazione di partenza che presenta due variabili goniometriche differenti, ci si ricondotti a una forma della disequazione che presenta un solo tipo di variabile (che sia $sin(x)$, $cos(x)$ o $sin(x+3)$ poco cambia).

Gi81

21 ott 2015, 14:36

$cos(alpha)>0 <=> -pi/2 +2 k pi
dunque $cos(2x)>0 <=> -pi/4 + k pi
Ora, noi dobbiamo risolvere $cos(2x)>0$ quando $x>=0$, quindi la soluzione appena trovata va ridotta.

Direi che viene $0<=x

dobbiamo unire questa soluzione con ${(x<0),(cos(0)>0):}$, che è $x<0$.

Quindi la soluzione finale è $x

Giobbo89

21 ott 2015, 23:06

"Gi8":

Quindi la soluzione finale è $x

Perdonami se ho tagliato il tuo messaggio, ma volevo concentrarmi su quanto riportato.
La mia domanda è: $x

Gi81

22 ott 2015, 07:02

"Giobbo89":
Perdonami se ho tagliato il tuo messaggio, ma volevo concentrarmi su quanto riportato.

Hai fatto benissimo. Anzi, fai sempre così (cioè cita solo la parte di messaggio che vuoi commentare).

"Giobbo89":
La mia domanda è: $ xCome puoi notare, ho scritto $k in NN \\{0}$, cioè $k in {1,2,3,4,5,...}$

vediamo quanto vale $-pi/4 +kpi < x < pi/4 +k pi$ al variare di $k$ in questo intervallo:

se $k=1$, vale $-pi/4 +pi < x < pi/4 + pi$ cioè $3/4 pi
se $k=2$, vale $-pi/4 +2pi < x < pi/4 +2 pi$ cioè $7/4 pi
se $k=3$, vale $-pi/4 +3pi < x < pi/4 +3 pi$ , cioè $11/4 pi
....
e così via

Quindi la soluzione finale che ho scritto nel mio post precedente è:
$x

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