Disequazione fratta
Salve,
sono un nuovo utente e ho scoperto da poco questo sito. Frequento il 4° anno del Liceo Scientifico con lacune molto profonde in matematica (ho il debito da 4 anni). Oggi è stato il primo giorno di recupero e il professore ha spiegato le disequazioni e tra quelle assegnate per casa, ho provato a svolgere la prima soltanto che non mi risulta in nessun modo:
x + 1/x^2 - 4 - 1/x + 2 - 2 - x/x^2 + 4x + 4 < o uguale di 0.
Scusatemi se l'ho scritta così, ma non so come impostarla correttamente.
Grazie in anticipo.
sono un nuovo utente e ho scoperto da poco questo sito. Frequento il 4° anno del Liceo Scientifico con lacune molto profonde in matematica (ho il debito da 4 anni). Oggi è stato il primo giorno di recupero e il professore ha spiegato le disequazioni e tra quelle assegnate per casa, ho provato a svolgere la prima soltanto che non mi risulta in nessun modo:
x + 1/x^2 - 4 - 1/x + 2 - 2 - x/x^2 + 4x + 4 < o uguale di 0.
Scusatemi se l'ho scritta così, ma non so come impostarla correttamente.
Grazie in anticipo.
Risposte
Dunque, il professore oggi aveva consigliato di svolgere l'equazione associata per $x + 2 = 0$ e $x - 2 = 0$, ma così non saprei come collocare i valori sul grafico. Per cui, avendo - in base alla mia disequazione - $x + 2 >0$ e $x - 2 > 0$ da cui $x > - 2$ e $x > 2$, ho disegnato il grafico così:
Cosa ho sbagliato?
Cosa ho sbagliato?
L'errore è, se vogliamo banale, vediamo se riesco a darti una mano.
Allora, il denominatore della frazione non può diventare $0$ altrimenti la frazione perde di signficato, quindi la prima cosa da fare è stabilire quando $(x+2)^2(x-2)$ diventa $0$ e togliere questi valori dal grafico che andremo a utilizzare: il denominatore si annulla per $x=+-2$, quindi bisogna porre $x ne +-2$, e se col pallino vuoto tu intendi che quel valore non va preso allora quì hai fatto bene.
Adesso, avendo stabilito che il numeratore è sempre positivo dobbiamo stabilire il verso del denominatore al varare di $x$: il denominatore è il prodotto $(x+2)^2(x-2)$, il prmo fattore è sempre positivo perchè è un quadrato (potrebbe annullarsi ma abbiamo escluso questa eventualità dicendo che deve essere $x ne +-2$), quindi bisogna discutere il secondo fattore; $x-2<0 => x<2$ e $x-2>0 => x>2$.
Se fin quì sei d'accordo, provo a rifare il grafico del denominatore e poi lo metti assieme a quello del numeratore e vedi cosa viene...posta e controlliamo.
Allora, il denominatore della frazione non può diventare $0$ altrimenti la frazione perde di signficato, quindi la prima cosa da fare è stabilire quando $(x+2)^2(x-2)$ diventa $0$ e togliere questi valori dal grafico che andremo a utilizzare: il denominatore si annulla per $x=+-2$, quindi bisogna porre $x ne +-2$, e se col pallino vuoto tu intendi che quel valore non va preso allora quì hai fatto bene.
Adesso, avendo stabilito che il numeratore è sempre positivo dobbiamo stabilire il verso del denominatore al varare di $x$: il denominatore è il prodotto $(x+2)^2(x-2)$, il prmo fattore è sempre positivo perchè è un quadrato (potrebbe annullarsi ma abbiamo escluso questa eventualità dicendo che deve essere $x ne +-2$), quindi bisogna discutere il secondo fattore; $x-2<0 => x<2$ e $x-2>0 => x>2$.
Se fin quì sei d'accordo, provo a rifare il grafico del denominatore e poi lo metti assieme a quello del numeratore e vedi cosa viene...posta e controlliamo.
"WiZaRd":
L'errore è, se vogliamo banale, vediamo se riesco a darti una mano.
Allora, il denominatore della frazione non può diventare $0$ altrimenti la frazione perde di signficato, quindi la prima cosa da fare è stabilire quando $(x+2)^2(x-2)$ diventa $0$ e togliere questi valori dal grafico che andremo a utilizzare: il denominatore si annulla per $x=+-2$, quindi bisogna porre $x ne +-2$, e se col pallino vuoto tu intendi che quel valore non va preso allora quì hai fatto bene.
Adesso, avendo stabilito che il numeratore è sempre positivo dobbiamo stabilire il verso del denominatore al varare di $x$: il denominatore è il prodotto $(x+2)^2(x-2)$, il prmo fattore è sempre positivo perchè è un quadrato (potrebbe annullarsi ma abbiamo escluso questa eventualità dicendo che deve essere $x ne +-2$, quindi bisogna discutere il secondo fattore; $x-2<0 => x<2$ e $x-2>0 => x>2$.
Se fin quì sei d'accordo, provo a rifare il grafico del denominatore e poi lo metti assieme a quello del numeratore e vedi cosa viene...posta e controlliamo.
Allora, prima di disegnare il grafico, vorrei esporre il mio ragionamento dedotto da quanto hai scritto per sapere se ho capito o meno:
Sappiamo che il numeratore è sempre positivo e dato che il verso dell'intera disequazione è $<= 0$, dobbiamo far sì che il denominatore risulti negativo, così ci ha spiegato il professore oggi, potrei anche aver capito male io, quindi potrei sempre sbagliarmi.
Se poniamo $x < 2$, quindi negativo, il grafico risulta $x>2$ e la soluzione è errata. Se poniamo $x > 2$, il grafico ci fornisce la soluzione esatta, ma così facendo stabiliamo la positività del secondo fattore.
Quindi il rapporto $+/+$ che dà risultato positivo per una disequazione di verso negativo, non è errato? Non dovrebbe essere $+/-$ ?
Scusate la mia ignoranza in matematica, ma come vi ho preannunciato all'inizio del thread, ho molte lacune ed oggi ho scoperto questo favoloso sito frequentato da persone gentilissime e disponibili.
"Feuerbach":
Allora, prima di disegnare il grafico, vorrei esporre il mio ragionamento dedotto da quanto hai scritto per sapere se ho capito o meno:
Sappiamo che il numeratore è sempre positivo e dato che il verso dell'intera disequazione è $<= 0$, dobbiamo far sì che il denominatore risulti negativo, così ci ha spiegato il professore oggi, potrei anche aver capito male io, quindi potrei sempre sbagliarmi.
Fin quì è esatto.
"Feuerbach":
Se poniamo $x < 2$, quindi negativo, il grafico risulta $x>2$ e la soluzione è errata. Se poniamo $x > 2$, il grafico ci fornisce la soluzione esatta, ma così facendo stabiliamo la positività del secondo fattore.
Qui le idee sono confuse.
"Feuerbach":
Quindi il rapporto $+/+$ che dà risultato positivo per una disequazione di verso negativo, non è errato? Non dovrebbe essere $+/-$ ?
Esatto: la traccia della disequazione ti chiede di rendere la frazione negativa, quind assodato che il numeratore è positivo, il rapporto $+/+$ non va bene, mentre il rapporto $+/-$ va bene.
Il punto è che hai le idee confuse sul denominatore e sul legame tra il suo segno e quello dell'intera frazione sul grafico: stabilsci quando il denomnatore è negativo, tenendo conto delle condizion di esistenza, e avrai risolto la disequazione; poi al grafico ci pensamo dopo, per adesso non lo pensare: risolvi la dsequazione senza supporto grafico, poi dopo le idee ti saranno pù chiare.
Ho provato a fare ciò: ho ricomposto il prodotto $((x + 2)^2(x - 2)) in ((x^2 + 4x + 4)(x - 2))$.
Ho calcolato la prima disequazione di secondo grado e ho ricavato una unica soluzione, $-2$, poiché il $delta$ è $=$ a 0 e la disequazione è $> 0$ e il mio schema sul quaderno riporta nel seguente caso $AA x in RR$ dove $x != x1$.
Dopo ho calcolato $x - 2 > 0 rArr x > 2$ e ho collocato i valori $-2$ e $2$ nel grafico prendendo il risultato dove i segni sono risultati positivi in corrispondenza del verso $>$ e il risultato del grafico è stato: $x > 2$.
Quindi ho collocato il $2$ nel grafico insieme al numeratore e come prevedevo il segno negativo mi è risultato dove $x < 2$, quindi ho scritto la soluzione: $x < 2 ^^ x != -2$.
Non so se sia giusto il mio ragionamento, caso mai posto pure i grafici.
Ho calcolato la prima disequazione di secondo grado e ho ricavato una unica soluzione, $-2$, poiché il $delta$ è $=$ a 0 e la disequazione è $> 0$ e il mio schema sul quaderno riporta nel seguente caso $AA x in RR$ dove $x != x1$.
Dopo ho calcolato $x - 2 > 0 rArr x > 2$ e ho collocato i valori $-2$ e $2$ nel grafico prendendo il risultato dove i segni sono risultati positivi in corrispondenza del verso $>$ e il risultato del grafico è stato: $x > 2$.
Quindi ho collocato il $2$ nel grafico insieme al numeratore e come prevedevo il segno negativo mi è risultato dove $x < 2$, quindi ho scritto la soluzione: $x < 2 ^^ x != -2$.
Non so se sia giusto il mio ragionamento, caso mai posto pure i grafici.
Posta anche i grafici.
Ho distinto il denominatore $(x + 2)^2(x - 2)$ in:
F1 = $(x + 2)^2$
F2 = $(x - 2)$
Quindi:
F1 = - 2
F2 = 2
e ho disegnato il primo grafico tenendo conto del segno $>$:
ricavando il risultato $x > 2$.
Quindi ho scritto il valore del denominatore e quello del numeratore in un unico grafico:
ricavando il risultato finale: $x < 2 ^^ x != - 2$.
Spero sia corretto.
F1 = $(x + 2)^2$
F2 = $(x - 2)$
Quindi:
F1 = - 2
F2 = 2
e ho disegnato il primo grafico tenendo conto del segno $>$:
ricavando il risultato $x > 2$.
Quindi ho scritto il valore del denominatore e quello del numeratore in un unico grafico:
ricavando il risultato finale: $x < 2 ^^ x != - 2$.
Spero sia corretto.
Corretto è corretto, solo alcune notazioni
Ricorda che $x_1=-2$ e $x_2=2$ sono semplicemente i valori che annullano i due fattori e non vanno presi.
Se con risultato intendi il risultato che rende il denominatore $>0$, allora è giusto.
Corretto.
Per completezza, ti posto anche i miei grafici, così se ti restassero ancora dubbi puoi confrontare.
Grafico per lo studio del solo denominatore
Grafico per lo studio dell'intera frazione
Spero ti sia tutto chiaro e perdonami se ci ho messo tanto per cerare di schiarirti le idee.
"Feuerbach":
Ho distinto il denominatore $(x + 2)^2(x - 2)$ in:
F1 = $(x + 2)^2$
F2 = $(x - 2)$
Quindi:
F1 = - 2
F2 = 2
Ricorda che $x_1=-2$ e $x_2=2$ sono semplicemente i valori che annullano i due fattori e non vanno presi.
"Feuerbach":
e ho disegnato il primo grafico tenendo conto del segno $>$:
ricavando il risultato $x > 2$.
Se con risultato intendi il risultato che rende il denominatore $>0$, allora è giusto.
"Feuerbach":
Quindi ho scritto il valore del denominatore e quello del numeratore in un unico grafico:
ricavando il risultato finale: $x < 2 ^^ x != - 2$.
Spero sia corretto.
Corretto.
Per completezza, ti posto anche i miei grafici, così se ti restassero ancora dubbi puoi confrontare.
Grafico per lo studio del solo denominatore
Grafico per lo studio dell'intera frazione
Spero ti sia tutto chiaro e perdonami se ci ho messo tanto per cerare di schiarirti le idee.
"WiZaRd":
Spero ti sia tutto chiaro e perdonami se ci ho messo tanto per cerare di schiarirti le idee.
Ti ringrazio per i grafici, è tutto più chiaro.
Non devi scusarti, anzi, hai fatto benissimo perché in tal modo ti sei limitato ad indicarmi gli errori ed il modo in cui continuare a svolgere correttamente l'intero esercizio.
Reputo più utile questo forum che l'aiuto di un professore privato, sinceramente, giacché siete veramente gentilissimi e disponibili.
Vi ringrazio.
Se nei prossimi giorni incapperò in difficoltà nello svolgere gli altri esercizi non esiterò a postare.
Grazie ancora, saluti.
Va bene.
Ciao.
Ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo