Disequazione esponenziale
Buonasera a tutti, credo di aver sbagliato qualcosa in questa disequazione esponenziale e non capisco cosa o dove.. Ora vi mostro come ho ragionato
$e^(3x) + e^x leq e^(2x+x^2) + e^(x^2)$
ho sostituito $ e^x = t $ e proceduto con i calcoli
$t^3 +t leq t^2 * t^2 + t^2$
ed è qui, effettuando le sostituzioni, che credo di aver sbagliato.
Semplicemente ho ragionato pensando che
$ e^(3x) = (e^x)^3 = (t)^3 | | | e^(2x+x^2) = e^(x)^2 * e^(x)^2 = (t)^2 * (t)^2 = t^4$ ecc. ecc.
Faccio raccoglimenti parziali e mi riporto a
$(t-t^2)(t^2+1) leq 0$
poi studio il segno dei due prodotti separatamente
1) $(t-t^2) leq 0 rightarrow t(t-1) geq 0 rightarrow t leq 0 vee t geq 1$
2) $1+t^2 leq 0 rightarrow n.
essuna t di R$
vado a fare il prodotto dei segni per vedere dove è minore o uguale a zero e mi trovo con
$ t leq 0 vee t geq 1 $
sostituisco $t=e^x$
e mi trovo
$e^x leq 0 vee e^x geq 1$
andando ad eliminare $e$ con il $ln$ non mi trovo con il risultato segnato sul libro, ovvero
$ 0 leq x vee x geq 1 $
Sapete dirmi dov'è l'errore? Ho paura sia nella sostituzione iniziale perchè i calcoli mi sembrano corretti... grazie in anticipo !
$e^(3x) + e^x leq e^(2x+x^2) + e^(x^2)$
ho sostituito $ e^x = t $ e proceduto con i calcoli
$t^3 +t leq t^2 * t^2 + t^2$
ed è qui, effettuando le sostituzioni, che credo di aver sbagliato.
Semplicemente ho ragionato pensando che
$ e^(3x) = (e^x)^3 = (t)^3 | | | e^(2x+x^2) = e^(x)^2 * e^(x)^2 = (t)^2 * (t)^2 = t^4$ ecc. ecc.
Faccio raccoglimenti parziali e mi riporto a
$(t-t^2)(t^2+1) leq 0$
poi studio il segno dei due prodotti separatamente
1) $(t-t^2) leq 0 rightarrow t(t-1) geq 0 rightarrow t leq 0 vee t geq 1$
2) $1+t^2 leq 0 rightarrow n.
essuna t di R$
vado a fare il prodotto dei segni per vedere dove è minore o uguale a zero e mi trovo con
$ t leq 0 vee t geq 1 $
sostituisco $t=e^x$
e mi trovo
$e^x leq 0 vee e^x geq 1$
andando ad eliminare $e$ con il $ln$ non mi trovo con il risultato segnato sul libro, ovvero
$ 0 leq x vee x geq 1 $
Sapete dirmi dov'è l'errore? Ho paura sia nella sostituzione iniziale perchè i calcoli mi sembrano corretti... grazie in anticipo !
Risposte
$ e^(2x)$ e $e^(x^2)$ ti sembrano la stessa cosa?
"Pemberton!":
ed è qui, effettuando le sostituzioni, che credo di aver sbagliato.
Semplicemente ho ragionato pensando che
$ e^(3x) = (e^x)^3 = (t)^3 | | | e^(2x+x^2) = e^(x)^2 * e^(x)^2 = (t)^2 * (t)^2 = t^4$ ecc. ecc.
no ! e infatti l'ho scritto io stesso che so di aver sbagliato, ma qual'è il modo corretto di sostituire?Sono un autodidatta, sto studiando da solo con ausilio di libri e internet, se cose del genere per voi sono così scontate, per me non lo sono.
Per esclusione ho capito che il mio ragionamento di cui sopra è errato, non c'è bisogno di risottolinearlo, ma a quello corretto non so arrivarci...
Non è il caso di offendersi... 
Puoi scrivere:
$x^(3x)+ e^x = e^(2x+x) + e^x = e^(2x)*e^x + e^x = (e^(2x)+1)e^x$
e
$e^(2x+x^2) + e^(x^2) = e^(2x) * e^(x^2) + e^(x^2) = (e^(2x)+1)e^(x^2)$
eccetera...
Puoi scrivere:
$x^(3x)+ e^x = e^(2x+x) + e^x = e^(2x)*e^x + e^x = (e^(2x)+1)e^x$
e
$e^(2x+x^2) + e^(x^2) = e^(2x) * e^(x^2) + e^(x^2) = (e^(2x)+1)e^(x^2)$
eccetera...
Ci ho provato, mi ritrovo con
$(e^(2x)+1)(e^(x^2)-e^x) geq 0$
1) $e^(2x)+1 geq 0$ Per ogni x appartenente ad R, per definizione di esponenziale
2)$e^x(e^x-1) geq 0$
2a)$e^x geq 0$ per ogni x appartenente ad R, per definizione di esponenziale
2b)$e^x geq 1 rightarrow x>0$
ma continuo a non trovarmi con il risultato..
$(e^(2x)+1)(e^(x^2)-e^x) geq 0$
1) $e^(2x)+1 geq 0$ Per ogni x appartenente ad R, per definizione di esponenziale
2)$e^x(e^x-1) geq 0$
2a)$e^x geq 0$ per ogni x appartenente ad R, per definizione di esponenziale
2b)$e^x geq 1 rightarrow x>0$
ma continuo a non trovarmi con il risultato..
$e^((x^2)) != (e^x)^2$
Continui nello stesso errore ...
Continui nello stesso errore ...
E come si fa?
Riscrivila così $e^x=t, e^(x^2)=q$
No ragazzi non sto capendo, perchè mo dovrebbe diventare a due incognite? mi state solo confondendo così
1) come si risolve $e^(2x) +1 geq 0 $ per esteso ?
2) se $e^x = t$, quando mi trovo con $e^(2x)$, come sostituisco in funzione di t la cosa?
1) come si risolve $e^(2x) +1 geq 0 $ per esteso ?
2) se $e^x = t$, quando mi trovo con $e^(2x)$, come sostituisco in funzione di t la cosa?
"Pemberton!":
... mi state solo confondendo così ...
Se lo dici tu possiamo anche lasciar stare ... peccato perché è banale ...
$ e^(3x) + e^x leq e^(2x+x^2) + e^(x^2) $
$t^3+t<=t^2q+q$
$t(t^2+1)<=q(t^2+1)$
$t<=q$
$e^x<=e^(x^2)$
$ln(e^x)<=ln(e^(x^2))$
$x<=x^2$
$0<=x^2-x$
$0<=x(x-1)$
"Pemberton!":
1) come si risolve $e^(2x) +1 geq 0 $ per esteso ?
$e^(2x) +1 geq 0 $ è sempre verificata. Quindi puoi eliminare questo fattore dai due membri, e resti con
$e^x <= e^(x^2)$ che diventa subito $x <= x^2$
ok è vero, è abbastanza semplice ed intuitivo risolverlo così, ma ancora non mi è chiaro come risolvere $ e^(2x) + 1 geq 0 $ .... scusatemi
"mgrau":
[quote="Pemberton!"]
1) come si risolve $e^(2x) +1 geq 0 $ per esteso ?
$e^(2x) +1 geq 0 $ è sempre verificata. Quindi puoi eliminare questo fattore dai due membri, e resti con
$e^x <= e^(x^2)$ che diventa subito $x <= x^2$[/quote]
ok non avevo letto ! grazie mille
"Pemberton!":
ok è vero, è abbastanza semplice ed intuitivo risolverlo così, ...
A cosa ti riferisci?
Marò che complicato che sei:
$e^(3x) + e^x leq e^(2x+x^2) + e^(x^2)$
$e^x[e^(2x)+1]<=e^(x^2)[e^(2x)+1]$
$e^x<=e^(x^2)$
$e^(3x) + e^x leq e^(2x+x^2) + e^(x^2)$
$e^x[e^(2x)+1]<=e^(x^2)[e^(2x)+1]$
$e^x<=e^(x^2)$
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