Disequazione di secondo grado es.7

[Bad90]

Ho risolto questa

$ -(x-1)(x+1)leq 1 $

Sono arrivato alla conclusione

$ x^2<=2 $

$ x<=+-sqrt(2) $

Ma se ho un solo risultato, come faccio a costruire il grafico per studiare il segno?

Ho pensato a questo:

$ x<=sqrt(2) =>x<=+-sqrt(2)$

Ma non sono sicuro, anche se ho un risultato positivo e uno negativo, devo considerare che il valore di x sarà....!

[giammaria2]

Usiamo numeri facili. Se hai $x^2<9$ non puoi scrivere $x<+-3$ perché non ha senso: ad esempio, 1 va bene o no? E' minore di 3 ma non di -3. Devi invece fare il solito ragionamento: hai $x_1=3$ e $x_2=-3$, quindi ...
Lo stesso vale per il tuo $+-sqrt2$

[Bad90]

"giammaria":Usiamo numeri facili. Se hai $x^2<9$ non puoi scrivere $x<+-3$ perché non ha senso: ad esempio, 1 va bene o no? E' minore di 3 ma non di -3. Devi invece fare il solito ragionamento: hai $x_1=3$ e $x_2=-3$, quindi ...
Lo stesso vale per il tuo $+-sqrt2$

Ma come posso pensare il grafico?

va bene così?

_____________ $ -sqrt(2) $ __________0____________$ sqrt(2) $______________________________

__________________________________$ x<=sqrt(2) $_________________-------------------------

--------------------------_________$ x>=sqrt(2) $__________________________________________

_______ $ - $ _____________________________ $ + $ _________________________________ $ - $ ___

[chiaraotta1]

"Bad90":Ho risolto questa

$ -(x-1)(x+1)leq 1 $

Sono arrivato alla conclusione

$ x^2<=2 $
....

Se vuoi ragionare con una tabella di segni devi fare così ...

Riscrivere
$ x^2<=2 $
come
$x^2-2<=0->(x+sqrt(2))(x-sqrt(2))<=0$.

A questo punto si fa la solita tabella

$|( , -sqrt(2), , +sqrt(2), ,),( -, \|, +, \|, +, x+sqrt(2)),( -, \|, -, \|, +, x-sqrt(2)),( +, \|, -, \|, +, (x+sqrt(2))(x-sqrt(2)))|$.

Il prodotto è $<=0$ nell'intervallo che ha per estremi i numeri $-sqrt(2)$ e $+sqrt(2)$. Quindi le soluzioni sono $-sqrt(2)<=x<=+sqrt(2)$.

[Bad90]

Ti ringrazio per avermi fatto vedere come si fa una tabella
Ma il risultato della disequazione è

$ x<=-sqrt(2) $ e $ x>=sqrt(2) $

Non penso sia la stessa cosa!

[@melia]

Chiarotte ha risolto questa $x^2<=2$, sei tu che hai fatto un errore nel primo passaggio, da $-(x-1)(x-1)<=1$ si ottiene $x^2>=2$

[Bad90]

"@melia":Chiarotte ha risolto questa $x^2<=2$, sei tu che hai fatto un errore nel primo passaggio, da $-(x-1)(x-1)<=1$ si ottiene $x^2>=2$

Un attimo che adesso la rifaccio e scrivo tutti i passaggi!
Allora:
$ -(x-1)(x+1)<=-1 $

$ -(x^2-1)+1<=0 $

$ -x^2+1+1<=0 $

$ -x^2+2<=0 $

$ x^2-2>=0 $

Io ho pensato di continuare così:

$ x^2>=2 $

$ x>=+-sqrt(2) $

Il risultato del testo dice che $ x<=-sqrt(2);x>=sqrt(2) $ ho fatto la tabella per fare lo studio del segno, e ho dedotto che la $ x $ sarà verificata per $ x^2>=2 $ cioè $ x>=+-sqrt(2) $ e fin qui tutto ok, poi come mi avete giustamente detto che un quadrato deve essere per forza positivo o uguale a zero, allora il verso del valore $ -sqrt(2) $ andrà verso destra, cioè nel verso dei valori positivi, causando così le condizioni $ x<=-sqrt(2);x>=sqrt(2) $! Bene, il dubbio che mi faceva sbagliare era proprio il $ x>=+-sqrt(2) $, perchè io seguivo il simbolo $ <= $ e il valore $ -sqrt(2) $ lo consideravo con il verso che andava a sinistra, non considerando l'impossibilità di tale verso essendo un quadrato! Insomma, penso sia un errore dovuto al non ragionare logicamente mentre ho pensato di risolverlo meccanicamente!

[Bad90]

Allora, faccio un altro esempio simile:

$ (8(x^2-3))/3+1/3<(5(x^2-1))/3-2 $

$ (8x^2-24)/3+1/3<(5x^2-5) /3-2 $

$ 8x^2-24+1<5x^2-5-6 $

$ 8x^2-23+1-5x^2+11<0 $

$ 3x^2-12<0 $

$ x^2<12/3 $

$ x<+-2 $

Il testo mi da il seguente risultato: $ -2 Come posso giustificare questo risultato?

Ho pensato al fatto che un quadrato può essere solo positivo, ok, ho fatto il grafico è ho preso il primo valore $ +2 $ facendolo andare verso sinistra, ok, poi ho preso il valore $ -2 $ facendolo andare verso destra, perchè deve essere solo positivo, in questo caso mi trovo con un settore positivo, ma solo al centro del grafico, dite che ho pensato bene? Il fatto che può ingannarmi è sempre il simbolo $ < $ che istintivamente mi porta a dare il verso del valore negativo a sinistra!

[Bad90]

Stessa storia con questa equazione:

$ x^2-2x-8<0 $

Avrò $ x<4 $ ed $ x<-2 $ , quindi nel grafico devo considerare il solo settore positivo, giusto?
Il verso del $ x<4 $ e nella direzione sinistra, mentre il verso $ x<-2 $ non potrà essere nella direzione sinistra, perchè $ x $ non potrà essere più piccolo di $ -2 $ , quindi il suo verso sarà nella direzione di destra, e dovrò considerare il solo settore positivo!?!

Va bene così?

Grazie mille anticipatamente amici!

[giammaria2]

Cerchiamo di fare un po' di chiarezza sulla regola dei segni, confrontando queste due disequazioni:
A) $x^2-2x-8>0 =>(x-4)(x+2)>0$
B) $x^2-2x-8<0 =>(x-4)(x+2)<0$
In entrambi i casi devi risolvere le disequazioni $x-4>0$ e $x+2>0$ (sempre il >) e fare il grafico dei segni; il settore positivo dice che vale il $>0$ e quindi è la soluzione di A mentre il settore negativo è soluzione di B.

Ripeto poi quello che ti ho già detto in un altro topic: formule del tipo di $x>+-2$ o $x<+-2$ non hanno alcun senso e sono quindi sbagliate; se vuoi applicare la regola dei segni devi comportarti come nel precedente esercizio. Ad esempio:
$x^2<4=>(x-2)(x+2)<0$
poi risolvi $x-2>0$ e $x+2>0$, fai il grafico dei segni e prendi la zona col meno.

Infine un'ultima cosa: mi pare di aver capito che tu studi da solo, senza la necessità di accontentare un particolare professore. Se è così, ti sconsiglio di continuare con la regola dei segni perché ci sono metodi più facili e rapidi; se lo desideri te li indicherò.

[Bad90]

Si , ti ringrazio, indicami la regola! Si studio da solo, e lavoro nello stesso tempo, è la passione per lo studio che mi porta a voler imparare queste materie, "tipo la matematica". Farò tesoro di ciò che mi dirai, quindi sono tutto occhio e orecchie!

[giammaria2]

Consideriamo $a$, il coefficiente di $x^2$; di solito è positivo, cioè $a>0$. Se anche la disequazione ha il $>0$ diciamo che $a$ e il verso della disequazione sono concordi, altrimenti che sono discordi. Analogamente un $a$ negativo è concorde con un $<0$ finale. Indico con $x_1,x_2$ le soluzioni dell'equazione, con $x_1 La regola è questa: "Se $a$ e il verso della disequazione sono concordi, la disequazione è verificata dai valori esterni alle soluzioni dell'equazione (cioè da $xx_2$); se sono discordi dai valori interni (cioè da $x_1 Esempio: $x^2-2x-8<0$. Le soluzioni dell'equazione sono 4 e -2; c'è discordanza quindi $-2 Altro esempio: $x^2>4$. Le soluzioni sono $+-2$ e c'è concordanza: $x< -2 vv x>2$

Ci sono anche altri metodi: uno è quello della parabola ma mi pare che tu non conosca ancora quella curva. Un altro non ha un nome a me noto e io dico solo "proviamo". Le soluzioni dell'equazione individuano tre zone e cambiando zona la disequazione passa da vera a non vera o viceversa. Prendi un valore di $x$ che sia all'interno di una di queste zone (è comodo lo zero, purché non sia soluzione dell'equazione e quindi ai bordi) e sostituiscilo nella disequazione; se ottieni una diseguaglianza vera, l'intera zona in cui si trova quel valore è soluzione mentre non lo è se la diseguaglianza è falsa. Ti basta poi sapere che cambiando zona si passa da vero a falso e viceversa.
Vediamo qualche esempio (i primi due sono quelli precedenti); in tutti penso a $x=0$
$x^2-2x-8<0$. Sostituendo ottengo $-8<0$, vera; è soluzione la zona contenente lo zero.
$x^2>4$. Sostituendo ottengo $0>4$, falso; la zona con lo zero non è soluzione mentre lo sono le altre due.
$x^2-5x+6>0$, che ha come soluzioni 2 e 3. Sostituendo ottengo $6>0$, vero; la zona con lo zero è soluzione, quella subito dopo no, la terza sì: quindi $x<2 vv x>3$

[Bad90]

"giammaria":
Esempio: $x^2-2x-8<0$. Le soluzioni dell'equazione sono 4 e -2; c'è discordanza quindi $-2

Scusami ma in questo caso la $ x $ è verificata quando $ x>4 $ e $ x<-2 $
Ho compreso bene?
Cosa cambia da ciò che hai scritto tu $-2

P.S. Ti ringrazio per tutto questo

[giammaria2]

No, non hai compreso bene; guarda di nuovo quello che ti ho scritto in questo topic ieri alle ore 14,00 al caso B. Tu vuoi che il primo membro sia $<0$, cioè che abbia il meno e questo succede proprio fra -2 e 4.
Chiedi cosa cambia fra le due soluzioni: sono una il contrario dell'altra. La scritta $-2 Invece la scritta $x>4 vv x<-2$ significa che vanno bene sia i valori più grandi di 4 che quelli più piccoli di -2; prova a dare ad $x$ uno di questi valori e troverai un risultato positivo.

[Bad90]

Perdonami, adesso provo a dire quello che mi viene in mente...
Risolvo l'equazione:

$ x^2-2x-8<0 $

Ma prima di risolverla so già che dovrò cercare un valore che sarà negativo perchè l'equazione è $ <0 $ , bene, sarà un numero preceduto dal meno e fin quì tutto ok. Risolvendo l'equazione, mi vengono fuori i due valori:

$ x<4;x<-2 $

Mi soffermo su quel $ -2 $ sapendo che la $ x $ non potrà mai essere più piccola di un valore negativo che in questo caso è $ -2 $ , quindi nel grafico invece di dargli il verso a sinistra, gli imprimo il verso a destra perchè sarà per forza positivo.

Fin quì sono andato bene?

Ovviamente il grafico, "non intendo quello della parabola, ma quello classico con i settori positivi o negativi......., mi darà i tre settori sulla quale mi soffermo per capire quale settore a me interessa, bene, allora ho un settore centrale che sarà positivo, perchè dato dai versi opposti dei due punti, mentre a sinistra e a destra saranno negativi!

Va bene fin quì?

Ovviamente quello che hai scritto tu:

$ -2
Significa un valore incluso in questo intervallo, quindi dal grafico fatto da me e con questo $ -2
Quello che giustamente mi hai detto e di fare la prova a dargli un numero di questo intervallo e do conferma di quello che mi hai detto.

Adesso mi chiedo:
Se ho una disequazione che in questa circostanza volge ad un valore $ <0 $ , forse dovrei trovare dal grafico un valore che si trova nel settore negativo?

Adesso cerco di rispondermi:
Istintivamente ho pensato di si, vado a cercare un numero che si trova in un settore negativo perchè la disequazione richiede un valore negativo!
Per questo ho pensato ad un valore che $ x<-2 ^^ x<4 $

P.S. Il tuo consiglio fila, ma sono io che in questo caso di disequazione ho un poco le idee confuse.

Allora cosa devo fare in questo tipo di disequazione?
Devo cercare un valore che è nel settore positivo?

Da quello che mi hai consigliato tu, penso di si, ma potresti cortesemente aiutarmi a fare un pò di chiarezza alla mia testolina dura!

Grazie mille!

[peppe.carbone.90]

Aspetta. Ricapitolo un attimo il procedimento. Mi scuso in anticipo se scrivo cose già dette, ma non ho seguito per intero tutte le discussioni postate sul tema.

Allora, hai la disequazione: $x^2 - 2x - 8 < 0$. Essa ti chiede: per quali valori di $x$ ottieni che il primo membro è negativo?
Procediamo con lo studio dei segni (anche se l'uso delle parabole è molto più rapido). Per prima cosa conviene scomporre l'espressione del primo membro; puoi usare la regola di scomposizione del trinomio oppure risolvere:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Decido di procedere così e quindi la risolvo:

$x_(1,2) = 1 \pm sqrt (1 + 8) = 1 \pm 3$. Dalla quale ricavi le soluzioni: $x_1 = -2$ e $x_2 = 4$. Allora il primo membro si può scomporre nel modo seguente:

$(x - x_1)*(x_2 - x_2)$ $=>$ $(x + 2)*(x - 4) < 0$

Ora la disequazione ottenuta è del tutto equivalente a quella data. Il vantaggio di averla scritta così è che puoi studiarti con più facilità i valori che deve assumere la $x$ affinchè la disequazione sia soddisfatta. Mi spiego meglio.
Il tutto si basa sulla classica regola dei segni

$(+) * (+) = (+)$ ======= $(+) * (-) = (-)$======= $(-) * (-) = (+)$.

Questa regola la possiamo applicare alla disequazione in quanto abbiamo due fattori moltiplicati tra loro:

Disequazione: --------$(x + 2)*(x - 4) < 0$
Segni dei fattori: --------$(?)$--------$(?)$ ---$< 0$

Per capire quali segni mettere al posto dei punti interrogativi ti aiuti con la regola dei segni: la disequazione di chiede un valore negativo, allora le possibilità che puoi considerare è che il primo fattore, cioè $(x+2)$, sia positivo e il secondo, cioè $(x-4) $, sia negativo; in questo caso avresti infatti $(+) * (-) = (-)$; ovviamente anche il viceversa può essere considerato ma non cambia nulla.

Quindi a questo punto mi chiedo: siccome voglio che il primo membro sia positivo e il secondo negativo, impongo che:

$(x+2) > 0$
$(x - 4) < 0$

Quando sono soddisfatte queste due disequazioni allora, ottengo al primo membro della disequazione un valore negativo che è proprio quello che mi richiede la disequazione.

Quello che però si fà sempre è considerare invece le due mini disequazioni positive; è una questione di comodità perchè se sò per quali valori di $x$ la mini disequazione viene positiva, sò di conseguenza per quali valori viene negativa.
Procedendo in questo modo ho:

$(x+2) > 0$ $=>$ $x > -2$
$(x - 4) > 0$ $=>$ $x > 4$

Ora faccio il grafico dei segni:

Dal grafico e dal risultato delle mini disequazioni sai che:

- il primo fattore è positivo per $x> -2$ e negativo quindi per $x<-2$;
- il secondo fattore è positivo per $x>4$ e negativo per $x<4$.

Nota: i valori sono crescenti da sinistra verso destra (e quindi descescenti da destra verso sinistra).

Allora, siccome voglio che il prodotto fra primo e secondo fattore sia negativo, ovvero minore di $<0$ (infatti la disequazione era $(x + 2)*(x - 4) < 0$), concludo che la soluzione deve essere: $-2
Ciao. Se qualcosa non è chiaro fammi sapere.

[garnak.olegovitc1]

Salve Bad90,
nulla da togliere a ciò detto da Jojo_90, ma a me sembra che ti fai un pò troppo di seghe mentali ... è quindi non riesci ad afferare giustamente il procedimento... che poi è valido per tutti....
Ti faccio un esempio:
hai la disequazione $x^2-2x-8<0$, risolverla significa trovare un intervallo, e non soltanto un valore, in cui è verificata; per fare ciò si associa alla disequazione la sua equazione, ovvero si ricavano, per prima cosa, le radici dell'equazione $x^2-2x-8=0$. Per ricavare le radici di questa, in questo caso, o procedi con la classica formula col $\Delta$ o come ben si vede puoi studiarla nella forma $(x+2)(x-4)=0$, per motivi spero che tu conosca...
Una volta che ti sei trovato le radici dell'equazione associata devi tenere conto del segno della disequazione (che è $f(x)<0$), del segno del coefficiente $a$ della disequazione (che è $a>0$), e del segno del determinante (che è $\Delta >0$).. e guardando qui saprai qual'è l'intervallo in cui è verificata la disequazione... ovvero, in questo caso, l'intervallo è $-2
Però per questa disequazione vi era anche un altro metodo , sapendo che l'equazione associata poteva essere scritta nella forma $(x+2)(x-4)=0$, per motivi spero che tu conosca... si poteva ritornare alla disequazione con quella scrittura al primo membro ovvero $(x+2)(x-4)<0$ che come ben vedi è il classico esempio, assieme anche alle disequazioni della forma $f(x)/g(x)<0$, in cui si studiano i fattori, nel caso del quoziente il numeratore ed il denominatore, entrambri maggiori di zero e poi si moltiplicano i loro segni, ove, in tal caso, il segno viene negativo allora è l'intervallo soluzione della nostra disequazione...

Spero di essere stato chiaro! Alla prossima disequazione...

Cordiali saluti

[Bad90]

"JoJo_90":

Quello che però si fà sempre è considerare invece le due mini disequazioni positive; è una questione di comodità perchè se sò per quali valori di $x$ la mini disequazione viene positiva, sò di conseguenza per quali valori viene negativa.
Procedendo in questo modo ho:

$(x+2) > 0$ $=>$ $x > -2$
$(x - 4) > 0$ $=>$ $x > 4$

Se qualcosa non è chiaro fammi sapere.

Quello che non sto capendo è perchè devo considerare "per comodità" le mini disequazioni sempre positive?
Insomma, se le considero così come mi vengono fuori, $ x<4;x<-2 $ i risultati sono diversi dai tuoi!

E' questo quello che mi fa sbagliare rispetto a $ -2

[garnak.olegovitc1]

Salve Jojo_90,
se devo essere sincero, a me il concetto di mini-disequazione mi sembra improprio...
Cordiali saluti

[Bad90]

"garnak.olegovitc":Salve Jojo_90,
se devo essere sincero, a me il concetto di mini-disequazione mi sembra improprio...
Cordiali saluti

Ok, intanto ringrazio JoJo, sicuramente ha voluto utilizzare un linguaggio non appropriato ma ho capito quello che vuole dire!
Il fatto è che non sto capendo il perchè devo considerare sempre positive queste mini disequazioni!

[garnak.olegovitc1]

Salve Bad90,
tutto sommato è un procedimento equivalente a quello da me scritto, consideralo tale.. cioè un "procedimento"..
Cordiali saluti