Disequazione con valore assoluto(compare solo l'incognita)

[eterno_distratto]

Avrei bisogno di qualche spegazione su questa disequazione |$x^2$ +x| < |x|
Avevo pensato di confrontare le x tra di loro ( $x^2$ + x $<=$,$>=$ x e il viceversa con X ,quindi 4 sistemi che tra l'altro mi restiuscono sempre $x^2$) oppure di fare lo stesso ma spostando |x| a sinistra della disequazione e confrontando il tutto per $>=$,$<=$ di 0.Purtroppo niente mi restiuisce questo risultato -2$<=$x$<=$0.

Potreste darmi qualche piccolo input?Grazie in anticipo

[retrocomputer]

Potresti prima spezzare la disequazione nel sistema (intersezione)
$x^2+x<|x|$
$x^2+x> -|x|$
Poi studi le due disequazioni separatamente (spezzandole a loro volta in due, che però questa volta non saranno sistemi, ma unioni)... Ti torna?

[Sk_Anonymous]

$|x^2+x|<|x| rarr$

$rarr (x^2+x)^2
$rarr x^2(x+1)^2-x^2<0 rarr$

$rarr x^2[(x+1)^2-1]<0 rarr$

$rarr x^3(x+2)<0 rarr$

$rarr [-2
oppure:

$|x^2+x|<|x| rarr$

$rarr |x|*|x+1|<|x| rarr$

$rarr |x+1|<1 rarr$

$rarr -1
$rarr [-2

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[Studente Anonimo]

Oppure $|x^2+x|<|x|$
$|x^2+x|-|x|<0$
$|x(x+1)|-|x|<0$
$|x||x+1|-|x|<0$
$|x|(|x+1|-1)<0$. Adesso si possono tranquillamente studiare i vari casi.

[retrocomputer]

$(\{x>x^2+x\}\cup \{x<-x^2-x\})\cap(\{x> -x^2-x\}\cup \{x $=(\emptyset\cup(-2,0))\cap(RR-\{0\})=(-2,0)$

[eterno_distratto]

Grazie per le risposte tempestive;mi viene facile ragionare sulla seconda risposta di speculor:
Avendo |$x^2$ +x| < |x| ,posso riscriverla (mettendo |x| in evidenza) come |x| * |x+1|< |x|.
Semplifico i due moduli ed ottengo |x+1|< 1 che ha soluzioni : -1

Per retrocomputer:
Ho provato anche la tua soluzione ovvero i 4 sistemi e mi rendo conto di avere in mente un pò di confusione su unione e intersezione,potresti darmi qualche dritta o un link con una spiegazione?Non ho ben capito neanche perchè analizzare 4 casi (non basta vedere soltanto x>0 e x<0 ?)

[retrocomputer]

"eterno_distratto":
Ho provato anche la tua soluzione ovvero i 4 sistemi e mi rendo conto di avere in mente un pò di confusione su unione e intersezione,potresti darmi qualche dritta o un link con una spiegazione?Non ho ben capito neanche perchè analizzare 4 casi (non basta vedere soltanto x>0 e x<0 ?)

Come vedi nella soluzione che ho scritto, alla fine solo una delle 4 disequazioni conta davvero.

Se hai la disequazione $|f(x)|<|g(x)|$, costruisci le 4 disequazioni partendo dalle due proprietà del valore assoluto:

1) $\{|h(x)| -K\}$;
2) $\{|h(x)|>K\}=\{h(x)>K\}\cup\{h(x)<-K\}$.

Prima applichi la proprietà 1 con $h(x)=f(x)$ e $K=|g(x)|$ e poi applichi la 2 a entrambe le disequazioni che ottieni.

[Studente Anonimo]

Da $|x+1|<1$ si passa a $-1

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[Sk_Anonymous]

"eterno_distratto":
Semplifico i due moduli ed ottengo |x+1|< 1 che ha soluzioni : -1

"anonymous_c5d2a1":
Da $|x+1|<1$ si passa a $-1

[eterno_distratto]

"retrocomputer":[quote="eterno_distratto"]
Ho provato anche la tua soluzione ovvero i 4 sistemi e mi rendo conto di avere in mente un pò di confusione su unione e intersezione,potresti darmi qualche dritta o un link con una spiegazione?Non ho ben capito neanche perchè analizzare 4 casi (non basta vedere soltanto x>0 e x<0 ?)

Come vedi nella soluzione che ho scritto, alla fine solo una delle 4 disequazioni conta davvero.

Se hai la disequazione $|f(x)|<|g(x)|$, costruisci le 4 disequazioni partendo dalle due proprietà del valore assoluto:

1) $\{|h(x)| -K\}$;
2) $\{|h(x)|>K\}=\{h(x)>K\}\cup\{h(x)<-K\}$.

Prima applichi la proprietà 1 con $h(x)=f(x)$ e $K=|g(x)|$ e poi applichi la 2 a entrambe le disequazioni che ottieni.[/quote]


Ragazzi grazie per i chiarimenti,adesso ho capito e scusate ma non sono una cima in matematica