Disequazione con valora assoluto

[IlRosso1]

Salve! Ho un problema con questa disequazione:
$ |x+1|=|x-3| $
Nel mio libro è risolta studiando i casi:
$ x<=1 $ , $ x>=3 $ e $ -1 però non riesco a capire perchè questi tre casi. Qualcuno può darmi un aiuto?

[Sk_Anonymous]

Quello è il metodo "forza bruta", anche se dovevi scrivere $[x<=-1]$. Molto meglio se procedi così:

$|x+1|=|x-3| rarr [x^2+2x+1=x^2-6x+9] rarr [x=1]$

oppure così:

$|x+1|=|x-3| rarr [x+1=x-3] vv [x+1=-x+3] rarr [\nexists x in RR] vv [x=1] rarr [x=1]$

[Bruce..]

Fare a tentativi sarebbe problematico. In che senso?

Potrei studiare quattro casi: il primo in cui entrambe le espressioni nei valori assoluti siano positivi, il secondo in cui entrambi siano negativi, il terzo nel caso in cui il primo sia positivo e l'altro negativo e l'ultimo nel caso in cui sia negativo il primo e positivo il secondo.

Più semplice è il metodo che consiste nello studio del segno.

Ovvero:

L'espressione dentro il primo valore assoluto, $ |x + 1| $, sarà positiva se $ x + 1 >= 0 $ e quindi se $ x >= -1 $

L'espressione dentro il secondo valore assoluto, $ |x - 3| $, sarà positiva se $ x - 3 >= 0 $ e quindi se $ x >= 3 $

Ora andiamo a rappresentare sulla retta gli intervalli.

E per $ x < -1 $ risulta che il primo valore assoluto è negativo, il secondo anche.

Quindi l'equazione sarebbe:

$ - x - 1 = - x + 3 $

Se la soluzione è minore di -1, allora prendiamo tale soluzione come soluzione dell'equazione di partenza.
Non so se mi sono spiegato.

E poi prosegui con gli altri intervalli...