Disequazione con moduli
Ciao a tutti. Chi mi aiuta a svolgere questa disequazione?
$|x^2-3x+2|>|x|+1$
Potrebbe essere riscritta come
$|(x-1)(x-2)|>|x|+1$
Ma poi? Come proseguo?
$|x^2-3x+2|>|x|+1$
Potrebbe essere riscritta come
$|(x-1)(x-2)|>|x|+1$
Ma poi? Come proseguo?
Risposte
Hai pensato di studiare i moduli dove sono positivi e di sostituirli con quello che è al loro interno o altrimenti con quello che è al loro interno con il meno davanti (dove l'argomento del modulo è negativo)?
Ad esempio con $x<0$ il primo modulo è positivo e il secondo negativo quindi hai $x^2-3x+2> -x+1$ e così via...(unendo poi i vari risultati).
Fai un tentativo, se non riesci non preoccuparti, te lo indichiamo.
Ad esempio con $x<0$ il primo modulo è positivo e il secondo negativo quindi hai $x^2-3x+2> -x+1$ e così via...(unendo poi i vari risultati).
Fai un tentativo, se non riesci non preoccuparti, te lo indichiamo.
Ok. Studiandola mi sono trovato davanti questa disequazione:
$x^2-3x+2> -x-1$
$x^2-2x+3>0$
Non ha soluzioni in campo reale, quindi come risolvo?
Guardandola sembra sempre positiva, però come proseguo con i calcoli? Grazie.
$x^2-3x+2> -x-1$
$x^2-2x+3>0$
Non ha soluzioni in campo reale, quindi come risolvo?
Guardandola sembra sempre positiva, però come proseguo con i calcoli? Grazie.
Non ci sono calcoli da proseguire, come hai detto tu è sempre positiva, quindi ogni valore di $x$ è soluzione.
Provando a risolverla al pc il risultato mi viene diverso: prova a ricontrollare i calcoli... 
Si,ma algebricamente come vedo? Visto che il discriminante è negativo?
Vediamo un po'... \[|x^2-3x+2|>|x|+1\] Si ha che \[x^2-3x+2>0 \quad\Rightarrow\quad x<1 \vee x > 2\] Questo significa che i casi sono tre: per $x<0$ il primo argomento è positivo mentre il secondo è negativo; per $02$ sono entrambi positivi; per $1
Caso 1: $x<0$
\[x^2-3x+2 > 1-x \Rightarrow \forall x \ne 1\] quindi la prima soluzione è $x<0$
Caso 2: $0 2$
\[x^2-3x+2>x+1 \Rightarrow x<2-\sqrt{3} \vee x>2+\sqrt{3}\] quindi la seconda soluzione è $02+\sqrt{3}$
Caso 3: $1
Unendo le tre soluzioni trovate si arriva a \[x<2-\sqrt{3} \quad\vee\quad x > 2+\sqrt{3}\]
Nota: nello svolgimento non ho messo i segni $>=$ e $<=$. Per convenzione credo che l'uguale vada dalla parte del maggiore.
Caso 1: $x<0$
\[x^2-3x+2 > 1-x \Rightarrow \forall x \ne 1\] quindi la prima soluzione è $x<0$
Caso 2: $0
\[x^2-3x+2>x+1 \Rightarrow x<2-\sqrt{3} \vee x>2+\sqrt{3}\] quindi la seconda soluzione è $0
Caso 3: $1
Unendo le tre soluzioni trovate si arriva a \[x<2-\sqrt{3} \quad\vee\quad x > 2+\sqrt{3}\]
Nota: nello svolgimento non ho messo i segni $>=$ e $<=$. Per convenzione credo che l'uguale vada dalla parte del maggiore.
Scusa se lo dico ora, ma avevo sbagliato un segno. Era:
$|x^2-3x+2|>|x|-1$
invece di
$|x^2-3x+2|>|x|+1$
Quindi nel caso x sia negativa, il contenuto del primo modulo è positivo, il modulo a destra ($|x|$) è invece negativo. Diventa allora:
$x^2-3x+2> -x-1$
$x^2-2x+3>0$
$|x^2-3x+2|>|x|-1$
invece di
$|x^2-3x+2|>|x|+1$
Quindi nel caso x sia negativa, il contenuto del primo modulo è positivo, il modulo a destra ($|x|$) è invece negativo. Diventa allora:
$x^2-3x+2> -x-1$
$x^2-2x+3>0$
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