Disequazione con due moduli.

[Sk_Anonymous]

Ragazzi mi serve il vostro aiuto, ho la disequazione:

$ |x + 3| >= |x^2 - 1| $

Procedo cosi':

Al primo membro:

1)

$ Se: x >= -3 \rightarrow x + 3 $

$ Se: x < -3 \rightarrow -x - 3 $

Al secondo membro:

2)

$ Se: x <-1 \vee x > 1 \rightarrow x^2 - 1 $

$ Se: -1 < x < 1 \rightarrow -x^2 + 1 $

Individuo gli intervalli:

$1)$--------$(-3)$+++++$(-1)$++++++$(+1)$++++++++
$2)$++++$(-3)$+++++$(-1)$------------$(+1)$++++++++

E dunque i sistemi:

$ \{ (x < -3) , (-x - 3 >= x^2 - 1) :} $
$\vee$
$ \{ (-3 < x < -1), (x + 3 >= x^2 - 1) :} $
$\vee$
$ \{ (-1 < x < 1), (x + 3 >= 1 - x^2) :} $
$\vee$
$ \{ (x > 1), (x + 3 >= x^2 - 1) :} $

Ma non mi risulta corretto...dove sbaglio? Grazie...

P.S come faccio ad usare una sola parentesi graffa per i sistemi? (EDIT: OK CORRETTO)

[21zuclo]

"ignorante":

P.S come faccio ad usare una sola parentesi graffa per i sistemi?

se clicci qui trovi tutte le informazioni riguardo alla scrittura di formule matematiche.

Comunque tornando alla disequazione. Io opterei per il procedimento grafico! Ti risparmia un sacco di conti e un sacco di tempo.

$|x+3|\geq |x^2-1|$

prima disegni $|x+3|$ poi disegni $|x^2-1|$ e poi vedi dove la prima è maggiore dell'altra!

[Sk_Anonymous]

Grazie, sono riuscito a sistemare le parentesi, avevo già dato un' occhiata al link prima, ma non attentamente e mi era sfuggito il sistema.

Grazie per il suggerimento grafico, solo che vorrei procedere col metodo algebrico.

[chiaraotta1]

Io suggerirei di risolvere così....
$ |x + 3| >= |x^2 - 1| $
$ (x + 3)^2 >= (x^2 - 1)^2$
$ (x + 3)^2- (x^2 - 1)^2>=0$
$ ((x + 3)- (x^2 - 1))((x + 3)+ (x^2 - 1))>=0$
$ (x + 3- x^2 + 1)(x + 3+ x^2 - 1)>=0$
$ (- x^2 + x+4)(x^2+x + 2)>=0$
Poiché il fattore $x^2+x + 2$ è ovunque $>0$ ($Delta<0$ e $a>0$), si può dividere la disequazione per $x^2+x + 2$ e quindi si ottiene
$ - x^2 + x+4>=0$
o
$ x^2 - x-4<=0$.
Poiché $Delta=17$, $x_1=(1-sqrt(17))/2$ e $x_2=(1+sqrt(17))/2$, le soluzioni sono $(1-sqrt(17))/2<=x<=(1+sqrt(17))/2$.

[Sk_Anonymous]

Grazie mille chiarotta, la tua soluzione mi piace e l' hai espressa in modo molto chiaro( ecco perché ti chiami chiara! )
Posso stare sempre tranquillo nel elevare al quadrato nel caso abbia ad entrambi i membri due valori assoluti?
Tuttavia avendo letto quel metodo su internet, ero curioso di sapere che tipo di errore commetevo per capire il procedimento che potrebbe in altre situazioni risultare utile.

[chiaraotta1]

"ignorante":
Posso stare sempre tranquillo nel elevare al quadrato nel caso abbia ad entrambi i membri due valori assoluti?
...

Sì, perché entrambi i membri sono sicuramente $>=0$.

[Sk_Anonymous]

Ah Ok, grazie chiaraotta!
Se qualcuno mi aiuta a trovare l'errore, gliene sarei molto grato...

[chiaraotta1]

Se vuoi studiare la disequazione nei diversi intervalli, mi sembra che si possa procedere così...

$ |x + 3| >= |x^2 - 1| $
è equivalente all'unione di quattro sistemi:
${(x+3>=0), (x^2-1>=0), (x+3>=x^2-1):}$ $U$ ${(x+3>=0), (x^2-1<0), (x+3>=-x^2+1):}$ $U$ ${(x+3<0), (x^2-1>=0), (-x-3>=x^2-1):}$ $U$ ${(x+3<0), (x^2-1<0), (-x-3>=-x^2+1):}$,
dove
${(x+3>=0), (x^2-1>=0), (x+3>=x^2-1):}->{(-3<=x<=-1 vv x>=1), (x^2-x - 4<=0):}->(1- sqrt(17))/2 <= x <= -1 vv 1 <= x <= (1+sqrt(17))/2$

${(x+3>=0), (x^2-1<0), (x+3>=-x^2+1):}->{(-1=0):}->-1
${(x+3<0), (x^2-1>=0), (-x-3>=x^2-1):}->{(x<-3), (x^2+x+2<=0):}-> text(impossibile)$

${(x+3<0), (x^2-1<0), (-x-3>=-x^2+1):}-> text(impossibile)$

e quindi
$(1- sqrt(17))/2 <= x <= (1+sqrt(17))/2$

[Sk_Anonymous]

Grazie di nuovo Chiaraotta, anche io avevo pensato a questo tipo di soluzione in partenza. Non uscendomi il risultato corretto, tuttavia avevo creduto che fosse sbagliata concettualemente, ed invece mi sbagliavo e mi fa piacere che mi hai dimostrato il contrario.
Grazie al fatto che hai postato quest' ultimo procedimento ho visto l'errore che commettevo nella procedura che ho proposto.
Mi sono dimenticato di comprendere il $ -1 $ e l' $ 1 $ nella disequazione $ x<=-1 \vee x>=1 $ e quindi nelle successive dei sistemi.