Discussione grafica equazione parametrica

[donald_zeka]

Risolvere graficamente il seguente sistema:

${ ( x^4-(k-2)x^2+kx-1=0 ),( 0
Ho riscritto il tutto come $k=(x^4+2x^2-1)/(x^2-x)$ e cercato le intersezioni con la retta $y=k$ nel dominio in $0
Il problema giunge quando devo studiarne la derivata prima, in quanto mi viene al numeratore una polinomiale di quinto grado irriducibile (credo) e dunque non riesco a determinare il segno della derivata e gli eventuali punti in cui si annulla, il che mi rende impossibile disegnare il grafico.

Qualcuno ha idea di come possa procedere?

[minomic]

Ciao,
confermo che il numeratore della derivata non è scomponibile.

Un'idea che mi viene è quella di riscrivere il sistema nel modo seguente:
\[\begin{cases}
y=x^4+2x^2-1 \\
y=kx^2-kx = kx(x-1) \\
0 \end{cases}\]
La prima è una curva che puoi ricondurre a una parabola. La seconda equazione è un fascio di parabole, tutte passanti per i punti $(0,0)$ e $(1,0)$. E da qui vedi quali considerazioni puoi fare. Non so se si arrivi da qualche parte, ma forse vale la pena ragionarci.

In ogni caso riporto un grafico che può risultare utile: in rosso è rappresentata la curva $y=x^4+2x^2-1$, in nero alcune delle parabole del fascio.