Dimostrazioni di geometria
1) siano a b c tre semirette aventi la stessa origine o tali che ab ( è un angolo) è conguruente a bc (angolo).
Siano quindi d ed e le semirette rispettivamente opposte ad a e c .
Dimostra che eb (angolo) è congruente a bd ( angolo)
2) da un punto M interno abun segmento AB traccia da parti opposte rispetto ad AB due segmenti MC e MD , in modo che sia BMC conguente a AMD (angoli) . Dimostra che i punti D M C sono allineati .
3) Siano A B C D quattro punti in linea retta che si suseguono in ordine alfabetico e tali che sia AB congurente a CD .
Dmostra che i due segmenti AD e BC hanno lo stessobpunto medio
4) siano A B C D quattro punti in linea retta che si susseguono in ordine alfabetico e siano M e N i punti medi di AB e CD . Dimostra che MN congruente AC + BD : 2
Siano quindi d ed e le semirette rispettivamente opposte ad a e c .
Dimostra che eb (angolo) è congruente a bd ( angolo)
2) da un punto M interno abun segmento AB traccia da parti opposte rispetto ad AB due segmenti MC e MD , in modo che sia BMC conguente a AMD (angoli) . Dimostra che i punti D M C sono allineati .
3) Siano A B C D quattro punti in linea retta che si suseguono in ordine alfabetico e tali che sia AB congurente a CD .
Dmostra che i due segmenti AD e BC hanno lo stessobpunto medio
4) siano A B C D quattro punti in linea retta che si susseguono in ordine alfabetico e siano M e N i punti medi di AB e CD . Dimostra che MN congruente AC + BD : 2
Risposte
per il 1. esercizio (dammi tempo che te li faccio tutti
Grazie xo mi serrve da risolvere cioe dimostrare jonnsolo graficamente
Ecco a te, Ci@o! Spero di aver fatto un buon lavoro.
1) siano a b c tre semirette aventi la stessa origine o tali che ab ( è un angolo) è congruente a bc (angolo).
Siano quindi d ed e le semirette rispettivamente opposte ad a e c .
Dimostra che eb (angolo) è congruente a bd ( angolo)
Due semirette opposte sono due semirette che appartengono ad una stessa retta, hanno la stessa origine, ma versi opposti.
Per ottenere d ed e è dunque sufficiente prolungare a e c oltre il loro punto di origine, ma ovviamente dalla parte opposta rispetto a dove esse si trovano.
Due semirette opposte tagliano lo spazio a metà, in due semi-piani identici.
Proprio per questo motivo si può affermare che a e d formano due angoli identici (sopra e sotto), pari a 180° (metà di un angolo giro).
La stessa cosa dicasi anche per c ed e.
Quindi a con d e c con e formano due angoli dientici di 180°.
Ora, l'angolo formato da b e d è dato dalla differenza tra l'angolo formato da a e da d -nel semipiano dove si trovano anche b e c- e l'angolo formato da a e da b.
L'angolo formato da b e e, invece, è dato dalla differenza tra l'angolo formato da c e da e -nel semipiano dove si trovano anche a e b- e l'angolo formato da c e da b.
Essendo l'angolo formato da a e d uguale a quello formato da c e da e, ed essendo quello formato da a e b uguale a quello formato da b e da c, saranno ugauli anche le loro differenze.
2) da un punto M interno abun segmento AB traccia da parti opposte rispetto ad AB due segmenti MC e MD , in modo che sia BMC conguente a AMD (angoli) . Dimostra che i punti D M C sono allineati.
Tre punti sono allineati se appartengono alla stessa retta.
La retta ha inclinazione costante: se la sua inclinazione variasse nel corso della sua lunghezza, non sarebbe più una retta ma una "spazzata".
Il segmento AB divide lo spazio in due sempiani. Sopra e sotto di esso abbiamo dunque due angoli di 180° ciascuno.
Se CMD è una retta, deve accadere che ciscuno di questi angoli piatti sia diviso in latri due angoli, uguali tra loro a due a due.
In latre parole deve accadere che CMB = DMA e DMB= BMC.
Essendo già vero che CMB = DMA per ipotesi, essendo DMB e BMC dati dalla somma d due angoli piatti meno una medesima quantità (CMB = DMA), sarnno uguali anch'essi.
Quindi CMD è un'unica retta.
3) Siano A B C D quattro punti in linea retta che si suseguono in ordine alfabetico e tali che sia AB congurente a CD .
Dmostra che i due segmenti AD e BC hanno lo stessobpunto medio
Disegniamo il punto M, punto medio di AD.
Essendo M il punto medio di questo segmento, deve avvenire che: AM = MD.
M divide invece BC in BM ed MC, ma nulla sappiamo su queste due lunghezze, in quanto non è detto che M sia anche il punto medio di BC (abbiamo fatto l'ipotesi, infatti, che M fosse solo il punto medio di AD).
Ora: AM = AB + BM
MD = MC + CD
Quindi si ricava che: BM = AM - AB
MC = MD - CD
Ora, sottraendo da quantità uguali (AM = MD) quantità uguali (AB=CD) si ottengono anvora una volta quantità uguali. Si ricava cioè che:
MD = MC
Quindi M è anche punto medio di BC.
Fine. Ciao!!!
1) siano a b c tre semirette aventi la stessa origine o tali che ab ( è un angolo) è congruente a bc (angolo).
Siano quindi d ed e le semirette rispettivamente opposte ad a e c .
Dimostra che eb (angolo) è congruente a bd ( angolo)
Due semirette opposte sono due semirette che appartengono ad una stessa retta, hanno la stessa origine, ma versi opposti.
Per ottenere d ed e è dunque sufficiente prolungare a e c oltre il loro punto di origine, ma ovviamente dalla parte opposta rispetto a dove esse si trovano.
Due semirette opposte tagliano lo spazio a metà, in due semi-piani identici.
Proprio per questo motivo si può affermare che a e d formano due angoli identici (sopra e sotto), pari a 180° (metà di un angolo giro).
La stessa cosa dicasi anche per c ed e.
Quindi a con d e c con e formano due angoli dientici di 180°.
Ora, l'angolo formato da b e d è dato dalla differenza tra l'angolo formato da a e da d -nel semipiano dove si trovano anche b e c- e l'angolo formato da a e da b.
L'angolo formato da b e e, invece, è dato dalla differenza tra l'angolo formato da c e da e -nel semipiano dove si trovano anche a e b- e l'angolo formato da c e da b.
Essendo l'angolo formato da a e d uguale a quello formato da c e da e, ed essendo quello formato da a e b uguale a quello formato da b e da c, saranno ugauli anche le loro differenze.
2) da un punto M interno abun segmento AB traccia da parti opposte rispetto ad AB due segmenti MC e MD , in modo che sia BMC conguente a AMD (angoli) . Dimostra che i punti D M C sono allineati.
Tre punti sono allineati se appartengono alla stessa retta.
La retta ha inclinazione costante: se la sua inclinazione variasse nel corso della sua lunghezza, non sarebbe più una retta ma una "spazzata".
Il segmento AB divide lo spazio in due sempiani. Sopra e sotto di esso abbiamo dunque due angoli di 180° ciascuno.
Se CMD è una retta, deve accadere che ciscuno di questi angoli piatti sia diviso in latri due angoli, uguali tra loro a due a due.
In latre parole deve accadere che CMB = DMA e DMB= BMC.
Essendo già vero che CMB = DMA per ipotesi, essendo DMB e BMC dati dalla somma d due angoli piatti meno una medesima quantità (CMB = DMA), sarnno uguali anch'essi.
Quindi CMD è un'unica retta.
3) Siano A B C D quattro punti in linea retta che si suseguono in ordine alfabetico e tali che sia AB congurente a CD .
Dmostra che i due segmenti AD e BC hanno lo stessobpunto medio
Disegniamo il punto M, punto medio di AD.
Essendo M il punto medio di questo segmento, deve avvenire che: AM = MD.
M divide invece BC in BM ed MC, ma nulla sappiamo su queste due lunghezze, in quanto non è detto che M sia anche il punto medio di BC (abbiamo fatto l'ipotesi, infatti, che M fosse solo il punto medio di AD).
Ora: AM = AB + BM
MD = MC + CD
Quindi si ricava che: BM = AM - AB
MC = MD - CD
Ora, sottraendo da quantità uguali (AM = MD) quantità uguali (AB=CD) si ottengono anvora una volta quantità uguali. Si ricava cioè che:
MD = MC
Quindi M è anche punto medio di BC.
Fine. Ciao!!!
Ali facciamo una cosa tu hai fatto la teoria io faccio i disegni! ;)
Aggiunto 2 minuti più tardi:
2.
Aggiunto 2 minuti più tardi:
2.
Non avevo visto il quarto. Ecco qua, allora...
4) siano A B C D quattro punti in linea retta che si susseguono in ordine alfabetico e siano M e N i punti medi di AB e CD . Dimostra che MN congruente AC + BD : 2
Essendo M il punto medio di AB, posso scrivere:
AM = MB = AB/2
Allo stesso modo, essendo N il punto medio di CD, posso scrivere:
CN = ND = CD/2
Il segmento MN è formato da: MB + BC + CN.
Quindi MN = MB + BC + CN.
Venaimo ad AC e BD.
AC = AB + BC
BD = BC + CD.
Sommiamoli:
AC + BD = AB + BC + BC + CD = AB + 2BC + CD
E dividiamoli per 2:
AB/2 + BC + CD/2
Ma AB/2 = MB e CD/2 = CN.
Quindi (AC+BC)/2 = MB + BC + CN = MN.
Fine.
Aggiunto 27 secondi più tardi:
Per me va benissimo, Antharax, anzi è perfetto, così Cia@o riuscirà a capire meglio -attraverso i tuoi disegni- le spiegazioni che le ho postato!
4) siano A B C D quattro punti in linea retta che si susseguono in ordine alfabetico e siano M e N i punti medi di AB e CD . Dimostra che MN congruente AC + BD : 2
Essendo M il punto medio di AB, posso scrivere:
AM = MB = AB/2
Allo stesso modo, essendo N il punto medio di CD, posso scrivere:
CN = ND = CD/2
Il segmento MN è formato da: MB + BC + CN.
Quindi MN = MB + BC + CN.
Venaimo ad AC e BD.
AC = AB + BC
BD = BC + CD.
Sommiamoli:
AC + BD = AB + BC + BC + CD = AB + 2BC + CD
E dividiamoli per 2:
AB/2 + BC + CD/2
Ma AB/2 = MB e CD/2 = CN.
Quindi (AC+BC)/2 = MB + BC + CN = MN.
Fine.
Aggiunto 27 secondi più tardi:
Per me va benissimo, Antharax, anzi è perfetto, così Cia@o riuscirà a capire meglio -attraverso i tuoi disegni- le spiegazioni che le ho postato!
3.
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Va benissimo Ali!! :D
un attimo mi manca l'ultimo, sto usando Geogebra!
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Va benissimo Ali!! :D
un attimo mi manca l'ultimo, sto usando Geogebra!
Bene, Antharax, e anzi grazie della collaborazione. Ti chiederei solo, la prossima volta, di postare tutto quanto insieme, perchè il regolamento vieta di postare risposte "spezzettate" e allora....
4.
Aggiunto 1 minuto più tardi:
ahh okay ne prenderò nota! :)
ci@o è stato divertente aiutarti, Grazie Ali per la collaborazione!
Qunado ti serve, ti aiutiamo con piacere!
ciaoo :hi
Aggiunto 1 minuto più tardi:
ahh okay ne prenderò nota! :)
ci@o è stato divertente aiutarti, Grazie Ali per la collaborazione!
Qunado ti serve, ti aiutiamo con piacere!
ciaoo :hi
Grazie mille siete stati fantastici grazie veramente :')) ♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
Pregooooooo :D
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