Dimostrazione numero primo
Dimostrare che, se un numero primo $p$ è rappresentato dalla formula
$p=2^n+1$,
con $n$ positivo, allora $n$ è una potenza di 2.
[Ho provato a fare: $n=2^a$, quindi $p=2^2^a+1$, ma non so come andare avanti..]
$p=2^n+1$,
con $n$ positivo, allora $n$ è una potenza di 2.
[Ho provato a fare: $n=2^a$, quindi $p=2^2^a+1$, ma non so come andare avanti..]
Risposte
invece di fare $n=2^a$ prova a cercare una fattorizzazione di n quando n non è potenza di due, ovveo quando c'è un fattore primo dispari nella sua fattorizzazione
in altri termini, detto $p$ il fattore primo dispari, hai che $n=kp$ dove k puo essere qualsiasi numero.
avrai dunque $2^n+1=(2^p+1)(1-2^p+...+2^((k-1)p))$. occhio che il viceversa non è vero!!
in altri termini, detto $p$ il fattore primo dispari, hai che $n=kp$ dove k puo essere qualsiasi numero.
avrai dunque $2^n+1=(2^p+1)(1-2^p+...+2^((k-1)p))$. occhio che il viceversa non è vero!!
Non ho capito l'ultimo passaggio..
fattorizzazione di una somma di potenze (su internet trovi in mezzo secondo dispense sull'argomento)
comunque imparale,comprendile e ricordatele perche servono negli esercizi piu disparati (consiglio personale
)
tutto chiaro ora??
comunque imparale,comprendile e ricordatele perche servono negli esercizi piu disparati (consiglio personale
)tutto chiaro ora??
Credo di sì.. Grazie mille per tutte le risposte.
figurati!!!!!
Non capisco quel:
$2^n+1=(2^p+1)(1-...)$ perché nella seconda parentesi c'è quell'uno meno... etc?
Quello che ho trovato sulla fattorizzazione di una somma di potenze dall'indice dispari (che è quello che ci interessa) è che tale polinomio è appunto divisibile per la somma delle basi (quello che credo tu hai scritto con $2^p+1$). giusto? (me dubbiosa)
$2^n+1=(2^p+1)(1-...)$ perché nella seconda parentesi c'è quell'uno meno... etc?
Quello che ho trovato sulla fattorizzazione di una somma di potenze dall'indice dispari (che è quello che ci interessa) è che tale polinomio è appunto divisibile per la somma delle basi (quello che credo tu hai scritto con $2^p+1$). giusto? (me dubbiosa)
Intanto credo si sta facendo confusione su $p$: secondo la traccià è il primo che sta al membro di sinistra, poi fedeb lo ha posto uguale al fattore primo dispari di $n$.
Inoltre non sono sicuro che si possa applicare quella fattorizzazione per qualunque $k$.
Secondo ciò che dici si avrebbe $2^p+1|2^(pk)+1$
che è falso, prendi $p=3$ e $k=4$
Questa strada potrebbe intraprendersi per mostrare che $n$ non è dispari (non so se ce la si fa, non mi ci sono messo), comunque rimarrebbe lo scoglio della potenza di $2$
Inoltre non sono sicuro che si possa applicare quella fattorizzazione per qualunque $k$.
Secondo ciò che dici si avrebbe $2^p+1|2^(pk)+1$
che è falso, prendi $p=3$ e $k=4$
Questa strada potrebbe intraprendersi per mostrare che $n$ non è dispari (non so se ce la si fa, non mi ci sono messo), comunque rimarrebbe lo scoglio della potenza di $2$
Ok, ho capito.. Quindi probabilmente la strada di fedeb non funziona? mmmm... come fare?
scusate un attimo però...
se io ho $2^(p.2^k)+1$ questo si che è fattorizzabile.
basta infatti uguagliarlo a $2^((2^k)p)+1$ e si ottengono esponenti dispari, considerando $2^(2^k)$ come base e p come esponente.
quindi l'unica fattorizzazione infattibile si ha quando nell'esponente ci sono solo 2 e nessun numero dispari
se io ho $2^(p.2^k)+1$ questo si che è fattorizzabile.
basta infatti uguagliarlo a $2^((2^k)p)+1$ e si ottengono esponenti dispari, considerando $2^(2^k)$ come base e p come esponente.
quindi l'unica fattorizzazione infattibile si ha quando nell'esponente ci sono solo 2 e nessun numero dispari
Si, è vero.
Diciamo che sono anche stato fuorviato da questo che hai scritto
perchè mi sa che nella prima parentesi invece di $2^p$ dovevi mettere $2^k$
Diciamo che sono anche stato fuorviato da questo che hai scritto
"fedeb":
detto $p$ il fattore primo dispari, hai che $n=kp$ dove k puo essere qualsiasi numero.
avrai dunque $2^n+1=(2^p+1)(1-2^p+...+2^((k-1)p))$. occhio che il viceversa non è vero!!
perchè mi sa che nella prima parentesi invece di $2^p$ dovevi mettere $2^k$
vabbe credevo fosse indifferente... 
comunque il ragionamento era quello
quindi abbiamo dimostrato che è fattorizzabile sse non ci sono fattori primi, giusto??
comunque il ragionamento era quello
quindi abbiamo dimostrato che è fattorizzabile sse non ci sono fattori primi, giusto??
Grazie a tutti. 
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