Dimostrazione luoghi geometrici
L'esercizio è semplice ma mi interessa capire il concetto.
Disegna due rette r e s, non parallele, e fissa un segmento AB. Determina il luogo dei punti che hanno distanza congruente ad AB sia da r che da s.
Ci ho pensato e il luogo cercato è questo:
Come dimostro che soltanto i centri dei cerchi con raggio AB, che sono quattro, rispettano la proprietà?
Disegna due rette r e s, non parallele, e fissa un segmento AB. Determina il luogo dei punti che hanno distanza congruente ad AB sia da r che da s.
Ci ho pensato e il luogo cercato è questo:
Come dimostro che soltanto i centri dei cerchi con raggio AB, che sono quattro, rispettano la proprietà?
Risposte
La bisettrice dell'angolo formato da due rette non parallele è per definizione il luogo dei punti equidistanti da tali rette.
Chiamiamo k la misura del segmento AB; per ciascuno dei quattro angoli ci sarà uno e un solo punto equidistante da r ed s per il quale la distanza è k.
Non mi sembra necessario ricorrere alle circonferenze.
Chiamiamo k la misura del segmento AB; per ciascuno dei quattro angoli ci sarà uno e un solo punto equidistante da r ed s per il quale la distanza è k.
Non mi sembra necessario ricorrere alle circonferenze.
Ti ringrazio. Ecco un altro problema:
Disegna un rettangolo ABCD, in modo che la somma della base e dell'altezza sia congruente ad un segmento EF assegnato. Col vertice A disegna un altro rettangolo AB'C'D' , in modo che il lato AB' stia sul lato AB, AD' su AD e la somma della base e dell'altezza sia sempre congruente al segmento EF. Determina il luogo dei vertici C al variare dei rettangoli, dimostra che la figura ottenuta è il luogo richiesto.
Io ho determinato il luogo: l'ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele, con l'angolo retto in A, e la lunghezza dei cateti pari al segmento EF. Come si dimostra il secondo punto?
Disegna un rettangolo ABCD, in modo che la somma della base e dell'altezza sia congruente ad un segmento EF assegnato. Col vertice A disegna un altro rettangolo AB'C'D' , in modo che il lato AB' stia sul lato AB, AD' su AD e la somma della base e dell'altezza sia sempre congruente al segmento EF. Determina il luogo dei vertici C al variare dei rettangoli, dimostra che la figura ottenuta è il luogo richiesto.
Io ho determinato il luogo: l'ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele, con l'angolo retto in A, e la lunghezza dei cateti pari al segmento EF. Come si dimostra il secondo punto?
Il luogo è questo: la somma dei due segmenti rimane costante (\(k \in R^+\)).
\(\left\{ \begin{array}{l} b + h = k \\ 0 < b < k \\ 0 < h < k \\ \end{array} \right.\)
In termini cartesiani:
\(\left\{ \begin{array}{l} x + y = k \\ 0 < x < k \\ 0 < y < k \\ \end{array} \right.\)
Ed è proprio l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele con cateti di misura k.
Seconda parte:
prendiamo \(D'\) su \(AD\) a una distanza arbitraria \(\varepsilon \), dove va a finire \(B'\)?
Dovendo compensare la variazione, finirà in un punto a distanza b+\(\varepsilon \), se \(D'\) è interno a \(AD\);
in un punto a distanza b-\(\varepsilon \), se \(D'\) è esterno a \(AD\).
In sostanza, dovendo rimanere costante la somma della base con l'altezza, dovrà rimanere costante il semiperimetro del rettangolo.
\(\left\{ \begin{array}{l} b + h = k \\ 0 < b < k \\ 0 < h < k \\ \end{array} \right.\)
In termini cartesiani:
\(\left\{ \begin{array}{l} x + y = k \\ 0 < x < k \\ 0 < y < k \\ \end{array} \right.\)
Ed è proprio l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele con cateti di misura k.
Seconda parte:
prendiamo \(D'\) su \(AD\) a una distanza arbitraria \(\varepsilon \), dove va a finire \(B'\)?
Dovendo compensare la variazione, finirà in un punto a distanza b+\(\varepsilon \), se \(D'\) è interno a \(AD\);
in un punto a distanza b-\(\varepsilon \), se \(D'\) è esterno a \(AD\).
In sostanza, dovendo rimanere costante la somma della base con l'altezza, dovrà rimanere costante il semiperimetro del rettangolo.
Prolunghiamo AB di BM=BC.Uniamo M con C fino ad intersecare in N il prolungamento di AD .
E' facile dimostrare che BMC=45° e che AM=AN.Inoltre abbiamo che: AM=AB+BM=AB+BC= EF (che è dato).
Pertanto ,al variare di B (o di D ),C deve muoversi sul segmento MN che parte dall'estremo M del segmento
dato AM e forma con AM l'angolo di 45°.Ovvero deve muoversi sull'ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele MAN.
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