Dimostrazione (la circonferenza e i poligoni)
Salve a tutti. Vorrei avere, se possibile, un piccolo spunto per la dimostrazione del seguente problema.
Grazie mille.
Considera un triangolo equilatero ed un esagono regolare inscritti in una stessa circonferenza. Dimostra che il lato del triangolo è doppio dell'apotema dell'esagono.
Ipotesi
1. ABC è equilatero
2. DEFGHI è esagono regolare
3. O è centro della circonferenza
4. OP è apotema di DEFGHI
Tesi
AB = 2OP
Grazie mille.
Considera un triangolo equilatero ed un esagono regolare inscritti in una stessa circonferenza. Dimostra che il lato del triangolo è doppio dell'apotema dell'esagono.
Ipotesi
1. ABC è equilatero
2. DEFGHI è esagono regolare
3. O è centro della circonferenza
4. OP è apotema di DEFGHI
Tesi
AB = 2OP
Risposte
"alfredo":
Salve a tutti. Vorrei avere, se possibile, un piccolo spunto per la dimostrazione del seguente problema.
Grazie mille.
Considera un triangolo equilatero ed un esagono regolare inscritti in una stessa circonferenza. Dimostra che il lato del triangolo è doppio dell'apotema dell'esagono.
Ipotesi
1. ABC è equilatero
2. DEFGHI è esagono regolare
3. O è centro della circonferenza
4. OP è apotema di DEFGHI
Tesi
AB = 2OP
ciao... lo spunto è questo: considera che il lato dell'esagono è uguale al raggio del cerchio nel quale è inscritto. Utilizza il teorema di pitagora per calcolare l'apotema e sapendo in un triangolo con gli angoli di 30°, 60° e 90° il cateto maggiore è $sqrt(3)/2$ dell'ipotenusa calcola il lato del triangolo.
Forse c'è un metodo più corto, ma questo è il più meccanico ed è il primo che mi è venuto in mente
un altro spunto che mi è venuto in mente:
disegni il triangolo e il cerchio, poi tracci un diametro che coincida con un'altezza del triangolo, congiungi uno dei punti della base (relativa all'altezza tracciata) con l'estremo del diametro opposto al vertice (del triangolo, da dove parte l'altezza). L'ultimo segmento tracciato è un lato di un esagono inscritto... quindi puoi ragionare col teorema di pitagora
disegni il triangolo e il cerchio, poi tracci un diametro che coincida con un'altezza del triangolo, congiungi uno dei punti della base (relativa all'altezza tracciata) con l'estremo del diametro opposto al vertice (del triangolo, da dove parte l'altezza). L'ultimo segmento tracciato è un lato di un esagono inscritto... quindi puoi ragionare col teorema di pitagora
Ti ringrazio, Debian, per gli spunti che mi hai offerto. Ma Pitagora non lo posso usare (nemmeno Euclide) 
. Solo le basi della geometria razionale: criteri di congruenza dei triangoli, rette parallele tragliate da una trasversale, teorema di Talete, ecc.
Grazie, comunque.
. Solo le basi della geometria razionale: criteri di congruenza dei triangoli, rette parallele tragliate da una trasversale, teorema di Talete, ecc.Grazie, comunque.
Mi è venuta un'idea ma non riesco a ...
... chiudere il cerchio (che poi si dovrebbe dire circonferenza)
.
L'idea è la seguente.
Prima cosa, rettifico lievemente l'ipotesi (solo per una numerazione più ordinata).
Ipotesi:
1. c è una circonferenza di centro O;
2. ACE è un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza c;
3. ABCDEF è un esagono regolare inscritto nella circonferenza c;
4. OP è l'apotema dell'esagono.
Tesi
AC = 2 OP
Dimostrazione
Traccio il raggio OB. Indico con H l'intersezione di questo con il lato del triangolo equilatero AC. Faccio vedere che i triangoli OHA e OPB sono congruenti. Essi, infatti, sono rettangoli in H e in P. Hanno OA come ipotenusa in comune. E poi mi manca un terzo elemento che non riesco a vedere.
Dimostrata la congruenza dei due triangoli suddetti faccio vedere che AH, che è congruente ad OP (l'apotema), è anche la metà di AC. Questo passaggio è semplice in quanto:
a. AOC è isoscele;
b. OH è perpendicolare ad OC (anche questo, però, va dimostrato!), quindi OH è altezza ed anche mediana
di conseguenza AH è congruente ad HC; ovvero AH è la metà di AC. Ma siccome AH è congruente all'apotema OP, quest'ultima è congruente alla metà del lato del triangolo equilatero. Cioè la tesi.
Mi mancano però alcuni punti da dimostrare. Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie.
... chiudere il cerchio (che poi si dovrebbe dire circonferenza)
.L'idea è la seguente.
Prima cosa, rettifico lievemente l'ipotesi (solo per una numerazione più ordinata).
Ipotesi:
1. c è una circonferenza di centro O;
2. ACE è un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza c;
3. ABCDEF è un esagono regolare inscritto nella circonferenza c;
4. OP è l'apotema dell'esagono.
Tesi
AC = 2 OP
Dimostrazione
Traccio il raggio OB. Indico con H l'intersezione di questo con il lato del triangolo equilatero AC. Faccio vedere che i triangoli OHA e OPB sono congruenti. Essi, infatti, sono rettangoli in H e in P. Hanno OA come ipotenusa in comune. E poi mi manca un terzo elemento che non riesco a vedere.
Dimostrata la congruenza dei due triangoli suddetti faccio vedere che AH, che è congruente ad OP (l'apotema), è anche la metà di AC. Questo passaggio è semplice in quanto:
a. AOC è isoscele;
b. OH è perpendicolare ad OC (anche questo, però, va dimostrato!), quindi OH è altezza ed anche mediana
di conseguenza AH è congruente ad HC; ovvero AH è la metà di AC. Ma siccome AH è congruente all'apotema OP, quest'ultima è congruente alla metà del lato del triangolo equilatero. Cioè la tesi.
Mi mancano però alcuni punti da dimostrare. Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie.
b. OH è perpendicolare ad OC (anche questo, però, va dimostrato!),
Forse, per questo punto, ho trovato. Mi posso appoggiare sul teorema del circocentro per cui gli assi di un triangolo si incontrano in un punto. Tale punto è il centro della circonferenza in cui il triangolo è inscritto. Quindi OB è anche asse del lato AC. Pertanto lo divide in due parti eguali ed AH è congruente con la metà di AC.
E' sufficientemente rigoroso?
Essi, infatti, sono rettangoli in H e in P.
Quest'affermazione è assicurata dal fatto che sia OP (l'apotema) che OH sono assi. Giusto?
Traccio il raggio OB. Indico con H l'intersezione di questo con il lato del triangolo equilatero AC. Faccio vedere che i triangoli OHA e OPB sono congruenti. Essi, infatti, sono rettangoli in H e in P. Hanno OA come ipotenusa in comune. E poi mi manca un terzo elemento che non riesco a vedere.
Mi sembra di scorgere anche il terzo elemento, ovvero la congruenza degli angoli AOH e OAP.
Allora, AOH è un angolo di 60° in quanto è la metà di AOC il quale, a sua volta, è un angolo al centro che insiste sullo stesso arco dell'angolo alla circonferenza E del triangolo equilatero. Quindi AOC è di 120° ed AOH di è 60°.
Anche l'angolo AOP è di 60° in quanto il triangolo OAP è retto in P e l'angolo POA è di 30°. Quest'ultimo è di 30° in quanto OP è bisettrice dell'angolo AOB di 60° in quanto angolo di un triangolo equilatero.
Potrebbe andare?
Grazie.
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