Dimostrazione irrazionalità di radice di 2
Salve a tutti
Ho un dubbio per quanto riguarda la dimostrazione dell'irrazionalità della radice di 2; sui libri di testo delle superiori (e non solo) viene condotta utilizzando anche il teorema di Pitagora. Però tale teorema non è valido nelle geometrie non euclidee (almeno per quanto ne so io) quindi, ora, secondo la logica, partendo da una premessa falsa l'implicazione può essere vera ma anche falsa.....quindi cosa possiamo concludere..?
Gradirei una qualche spiegazione sull'argomento
Grazie e saluti
GiovanniC.
Ho un dubbio per quanto riguarda la dimostrazione dell'irrazionalità della radice di 2; sui libri di testo delle superiori (e non solo) viene condotta utilizzando anche il teorema di Pitagora. Però tale teorema non è valido nelle geometrie non euclidee (almeno per quanto ne so io) quindi, ora, secondo la logica, partendo da una premessa falsa l'implicazione può essere vera ma anche falsa.....quindi cosa possiamo concludere..?
Gradirei una qualche spiegazione sull'argomento
Grazie e saluti
GiovanniC.
Risposte
Io non l'ho mai vista utilizzando il Th di Pitagora, ma solo utilizzando il Th di fattorizzazione unica. Forse se la posti la cosa si chiarisce.
La dimostrazione che la quantità $rho= sqrt(2)$ non può essere un numero razionale la si può fare ‘per assurdo’ con elementi puramente algebrici. In base alla teoria elementare dei numeri un numero razionale non intero $rho$ può essere scritto nella forma…
$rho=p/q$ (1)
… essendo $p$ e $q$ due interi primi fra loro con $q ne 1$. Se la radice di $2$ fosse un numero razionale pertanto sarebbe…
$rho^2= (p^2)/(q^2)=2$ (2)
Ora, secondo le ipotesi, fatte se $p$ e $q$ sono primi fra loro ed è $q ne 1$, allora anche $p^2$ e $q^2$ sono primi fra loro ed è $q^2 ne 1$. Pertanto numeratore e denominatore della (2) non sono semplificabili e il loro rapporto non può essere $2$… c.v.d.
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$rho=p/q$ (1)
… essendo $p$ e $q$ due interi primi fra loro con $q ne 1$. Se la radice di $2$ fosse un numero razionale pertanto sarebbe…
$rho^2= (p^2)/(q^2)=2$ (2)
Ora, secondo le ipotesi, fatte se $p$ e $q$ sono primi fra loro ed è $q ne 1$, allora anche $p^2$ e $q^2$ sono primi fra loro ed è $q^2 ne 1$. Pertanto numeratore e denominatore della (2) non sono semplificabili e il loro rapporto non può essere $2$… c.v.d.
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=16400
Qui trovi un po' di dimostrazioni alternative.
Qui trovi un po' di dimostrazioni alternative.
In generale, in una geometria non euclidea o altro possiamo usare una base diversa da quella decimale e costruire una matematica nella quale $sqrt(2) $ sia intero, no??
Stai mescolando un po' di cose con confusione mi pare, geometrie non euclidee con la rappresentazione dei numeri.... il fatto che un numero sia intero o no non dipende dalla sua rappresentazione; due è un numero intero sia che lo scrivi in base dieci, quindi 2, sia che lo scrivi in base due, quindi 10.
Caso mai la rappresentazione di $\sqrt2$ in una base irrazionale potrebbe essere una cosa diversa; mi pare che questo argomento sia già stato trattato una volta.
Caso mai la rappresentazione di $\sqrt2$ in una base irrazionale potrebbe essere una cosa diversa; mi pare che questo argomento sia già stato trattato una volta.
In $ZZ_7$ è $sqrt(2)=3$. Infatti $3^2=9=2_(mod 7)$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Sì, ma $\ZZ_7$ non è un sistema di rappresentazione dei numeri, bensì un altro insieme.
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