Dimostrazione iniettività funzione

[astrobaro]

ciao a tutti, avrei questa funzione f(x)= x^3+x^5-2 e dovrei dimostrare che è iniettiva con il metodo analitico.
Io ho posto le due funzioni con x diverse uguali ma non so come andare avanti.
Grazie mille

[ghira1]

Puoi notare che la derivata è positiva tranne in un solo punto dove è zero?

[Mephlip]

Se vuoi procedere senza derivare, potresti dapprima dimostrarti che la somma di funzioni iniettive è iniettiva per poi indagare separatamente l'iniettività di $g(x)=x^5$ e di $h(x)=x^3-2$; se dimostri che $g$ e $h$ sono iniettive, allora da quel risultato segue che $g(x)+h(x)=f(x)$ è iniettiva.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Beh però la somma di funzioni iniettive non è iniettiva in generale, per esempio $x+(-x)=0$.

[Mephlip]

Ultimamente scrivo scemenze; scusa per l'intervento errato, astrobaro.

[astrobaro]

non preoccuparti, comunque, prendendo spunto da un esercizio simile, avevo provato prima a scomporre la differenza di cubi $x^3$ - $y^3$ però poi mi rimangono gli altri due fattori alla quinta e non so come farli andare via

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Astrobaro, l'esercizio si risolve come ti ha indicato ghira, cioè in modo analitico facendo la derivata e mostrando che la funzione è crescente.

Poi l'idea di Mephilp è buona perché è vero che una somma di funzioni iniettive non è necessariamente iniettiva, ma una somma di funzioni crescenti è crescente.

[astrobaro]

ok grazie mille, era solo che cercavo un modo che non comprendesse le derivate non avendole mai fatte

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Allora devi seguire l'idea di Mephilp, mostrando cioè che $f$ è una somma di due funzioni crescenti.

[ghira1]

Il metodo analitico cos'è?

[astrobaro]

sarebbe dimostrare che una funzione è iniettiva secondo la definizione per cui se $f(x_1)$ = $f(x_2)$ allora $x_1$ = $x_2$ .
Dunque tu sostituisci alle $x$ dell'equazione $x_1$ e $x_2$ e poni le due equazioni uguali tra di loro , dopo devi far in modo di aver alla fine $x_1$ = $x_2$ .
Se intendi il metodo analitico con le derivate allora non lo conosco, potrebbero spiegarlo persone più competenti di me

[astrobaro]

"Martino":Allora devi seguire l'idea di Mephilp, mostrando cioè che $f$ è una somma di due funzioni crescenti.

ok grazie mille, e grazie anche a Mephilp per l'idea