Dimostrazione indiretta
Ciao a tutti!
Ho alcuni dubbi sulle dimostrazioni per assurdo. Ad esempio il procedimento seguente va bene?
Ho come dati inconfutabili che:
1) Alessia mangia una mela alle ore 9.00 (teorema della dieta.)
2) Alessia è a lezione di matematica alle ore 9.00 e alle ore 11.00 (dimostrazione diretta.)
Ho il sospetto che Alessia mangia una mela ogni volta che è a lezione di matematica, perciò asserisco che:
se Alessia è a lezione di matematica, allora mangia una mela.
Dimostrazione.
Ipotizziamo, per assurdo, che la proposizione
“Se Alessia è a lezione di matematica, allora mangia una mela ” non è vera.
Se la proposizione non è vera, allora ho una contraddizione con il teorema della dieta.
Per cui la proposizione
“Se Alessia è a lezione di matematica, allora mangia una mela ” è vera.
Quindi Alessia mangia una mela anche alle ore 11.00.
Grazie per il vostro aiuto.
Ho alcuni dubbi sulle dimostrazioni per assurdo. Ad esempio il procedimento seguente va bene?
Ho come dati inconfutabili che:
1) Alessia mangia una mela alle ore 9.00 (teorema della dieta.)
2) Alessia è a lezione di matematica alle ore 9.00 e alle ore 11.00 (dimostrazione diretta.)
Ho il sospetto che Alessia mangia una mela ogni volta che è a lezione di matematica, perciò asserisco che:
se Alessia è a lezione di matematica, allora mangia una mela.
Dimostrazione.
Ipotizziamo, per assurdo, che la proposizione
“Se Alessia è a lezione di matematica, allora mangia una mela ” non è vera.
Se la proposizione non è vera, allora ho una contraddizione con il teorema della dieta.
Per cui la proposizione
“Se Alessia è a lezione di matematica, allora mangia una mela ” è vera.
Quindi Alessia mangia una mela anche alle ore 11.00.
Grazie per il vostro aiuto.
Risposte
Detto chiaro e tondo, la logica e l'italiano non vanno tanto d'accordo.
Il punto è che dire
"se Alessia è a lezione di matematica allora mangia una mela"
in italiano è inteso come
"se Alessia è a lezione di matematica allora mangia una mela e basta" (in pratica "una sola" $\exists !$)
mentre la matematica intende "l'uno" senza ulteriori specificazioni come
"se Alessia è a lezione di matematica allora mangia almeno una mela" (in pratica "esiste una mela mangiata da Alessia", ma nessuno ci dice che sia unica $\exists$).
Nel primo caso, se deduci che "se Alessia è a lezione di matematica allora mangia una sola mela", questo è vero perché c'è la mela delle 9, ma dire "Alessia mangia una mela alle 11" impone che Alessia ne mangi (almeno) due perché come verità "acquisita" dal teorema della dieta hai che ne mangia una alle 9, quindi questo è proprio errato dal teorema appena dedotto (dove si specifica "una sola").
Nel secondo caso non hai un errore, ma nemmeno una conferma perché "l'esiste" semplice vuol dire proprio "esiste" ma non implica se ne sia uno o più di uno.
Dire "Alessia mangia una mela alle 11" con le premesse che hai non puoi dimostrarlo né smentirlo poiché
- se Alessia mangia una mela alle 11 non c'è una contraddizione né con il teorema della dieta né con l'altro (ricordo che sto nel caso "... Alessia mangia almeno una mela")
- se Alessia non mangia una mela alle 11 non c'è lo stesso una contraddizione né con il teorema della dieta né con l'altro.
Non so come dirlo in termini matematici, ma più o meno funziona così...
Il punto è che dire
"se Alessia è a lezione di matematica allora mangia una mela"
in italiano è inteso come
"se Alessia è a lezione di matematica allora mangia una mela e basta" (in pratica "una sola" $\exists !$)
mentre la matematica intende "l'uno" senza ulteriori specificazioni come
"se Alessia è a lezione di matematica allora mangia almeno una mela" (in pratica "esiste una mela mangiata da Alessia", ma nessuno ci dice che sia unica $\exists$).
Nel primo caso, se deduci che "se Alessia è a lezione di matematica allora mangia una sola mela", questo è vero perché c'è la mela delle 9, ma dire "Alessia mangia una mela alle 11" impone che Alessia ne mangi (almeno) due perché come verità "acquisita" dal teorema della dieta hai che ne mangia una alle 9, quindi questo è proprio errato dal teorema appena dedotto (dove si specifica "una sola").
Nel secondo caso non hai un errore, ma nemmeno una conferma perché "l'esiste" semplice vuol dire proprio "esiste" ma non implica se ne sia uno o più di uno.
Dire "Alessia mangia una mela alle 11" con le premesse che hai non puoi dimostrarlo né smentirlo poiché
- se Alessia mangia una mela alle 11 non c'è una contraddizione né con il teorema della dieta né con l'altro (ricordo che sto nel caso "... Alessia mangia almeno una mela")
- se Alessia non mangia una mela alle 11 non c'è lo stesso una contraddizione né con il teorema della dieta né con l'altro.
Non so come dirlo in termini matematici, ma più o meno funziona così...
Grazie zero87.
Hai ragione, la logica e l'italiano non vanno tanto d'accordo.
In effetti, sia nel teorema della dieta, sia nel seguito, intendevo dire “almeno una mela”.
Correggo il tiro e cerco di spiegarmi meglio, anche perché penso che tu abbia inteso, per colpa mia,
la lezione delle 9.00 e quella delle 11.00 come la stessa lezione e non come due eventi (lezioni) distinti.
Ho come dati inconfutabili che:
1) Alessia mangia almeno una mela alle ore 9.00 di ogni martedì (teorema della dieta.)
2) Alessia è a lezione di matematica alle ore 9.00 di ogni martedì e alle ore 11.00 di ogni mercoledì (dimostrazione diretta.)
3) Alessia non ha altre lezioni di matematica oltre quelle del punto 2 (dimostrazione diretta.)
Congetturo che Alessia mangia almeno una mela ogni volta che è a lezione di matematica e procedo con una dimostrazione per assurdo.
Teorema della mela:Tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, mangia almeno una mela.
Dimostrazione: ipotizziamo, per assurdo, che la proposizione
“Tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, mangia almeno una mela” non è vera.
Se la proposizione non è vera, si assume come vero il suo contrario: “tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, non mangia neanche una mela”.
Allora ho una contraddizione con il teorema della dieta.
Per cui la proposizione “Tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, mangia almeno una mela” è vera (visto che non può essere falsa).
Quindi il teorema della mela è dimostrato.
Successivamente, osservo che Alessia è a lezione di Matematica anche alle ore 11.00 di ogni mercoledì (dimostrazione diretta.)
Per il teorema della mela, Alessia mangerà almeno una mela anche alle 11.00 di ogni mercoledì.
Cosa ne pensi?
È più corretto scrivere “Tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, mangia almeno una mela”
oppure va bene anche “Se Alessia è lezione di matematica, allora mangia almeno una mela” ?
Hai ragione, la logica e l'italiano non vanno tanto d'accordo.
In effetti, sia nel teorema della dieta, sia nel seguito, intendevo dire “almeno una mela”.
Correggo il tiro e cerco di spiegarmi meglio, anche perché penso che tu abbia inteso, per colpa mia,
la lezione delle 9.00 e quella delle 11.00 come la stessa lezione e non come due eventi (lezioni) distinti.
Ho come dati inconfutabili che:
1) Alessia mangia almeno una mela alle ore 9.00 di ogni martedì (teorema della dieta.)
2) Alessia è a lezione di matematica alle ore 9.00 di ogni martedì e alle ore 11.00 di ogni mercoledì (dimostrazione diretta.)
3) Alessia non ha altre lezioni di matematica oltre quelle del punto 2 (dimostrazione diretta.)
Congetturo che Alessia mangia almeno una mela ogni volta che è a lezione di matematica e procedo con una dimostrazione per assurdo.
Teorema della mela:Tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, mangia almeno una mela.
Dimostrazione: ipotizziamo, per assurdo, che la proposizione
“Tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, mangia almeno una mela” non è vera.
Se la proposizione non è vera, si assume come vero il suo contrario: “tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, non mangia neanche una mela”.
Allora ho una contraddizione con il teorema della dieta.
Per cui la proposizione “Tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, mangia almeno una mela” è vera (visto che non può essere falsa).
Quindi il teorema della mela è dimostrato.
Successivamente, osservo che Alessia è a lezione di Matematica anche alle ore 11.00 di ogni mercoledì (dimostrazione diretta.)
Per il teorema della mela, Alessia mangerà almeno una mela anche alle 11.00 di ogni mercoledì.
Cosa ne pensi?
È più corretto scrivere “Tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, mangia almeno una mela”
oppure va bene anche “Se Alessia è lezione di matematica, allora mangia almeno una mela” ?
Il contrario di “Tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, mangia almeno una mela” è "Non tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, mangia almeno una mela”, cioè "Può capitare che Alessia sia a lezione di matematica e non mangi mele". Quest'ultima affermazione non contraddice nulla e quindi può essere vera.
In matematica, il contrario di "sempre" non è "mai", ma "non sempre".
In matematica, il contrario di "sempre" non è "mai", ma "non sempre".
"giammaria":
Il contrario di “Tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, mangia almeno una mela” è "Non tutte le volte che Alessia è a lezione di matematica, mangia almeno una mela”, cioè "Può capitare che Alessia sia a lezione di matematica e non mangi mele".
Ricordo il mio prof. di Logica Matematica che ci teneva a puntualizzare che il contrario di "tutto ..." è "esiste almeno una volta che non ...". Pensandoci bene vale anche in Italiano, anche se l'Italiano comune non lo accetta perché in genere si pensa che il contrario di "tutto" è "niente".
Non aggiungo altro perché, come dice giammaria, riformula bene le proposizioni, poi se ne riparla.
"Zero87":
Pensandoci bene vale anche in Italiano, anche se l'Italiano comune non lo accetta perché in genere si pensa che il contrario di "tutto" è "niente".
Ma noi non vogliamo fare il contrario, vogliamo solo fare precedere alla nostra proposizione una negazione( non), quindi la negazione di tutto... è non tutto....
Per negare una proposizione è conveniente iniziare con Non è vero che...
"gio73":
Ma noi non vogliamo fare il contrario, vogliamo solo fare precedere alla nostra proposizione una negazione( non), quindi la negazione di tutto... è non tutto....
Infatti, "non tutto..." che si traduce efficacemente - dal punto di vista logico - con "esiste almeno uno per cui non ...".
Quello che intendevo dire io, gio73, è solo che nell'italiano comune (chiamalo come vuoi), la negazione di
"vado sempre allo stadio"
è
"non vado mai allo stadio"
quando invece in logica (e riporta anche dal punto di vista linguistico), la negazione è
"almeno una volta allo stadio non ci sono andato" che corrisponde esattamente al "non vado sempre allo stadio" ma che è differente dal "non vado mai allo stadio".
Ho detto così solo perché, quando si ha a che fare con la logica, è meglio parlare "dal punto di vista logico", mettendosi nella mentalità efficace per affrontare certi problemi. Il "non è vero che" è giustissimo, ma magari non aiuta se ci si lascia troppo influenzare dal linguaggio parlato.
Grazie Giammaria, Gio73 e Zer087: ottime le vostre spiegazioni.
Prima di riformulare tutte le preposizioni, mi dite negando per assurdo che “se Alessia è a lezione di matematica, allora mangia almeno una mela”, qual'è l’esatta preposizione che vado ad assumere come vera?
Prima di riformulare tutte le preposizioni, mi dite negando per assurdo che “se Alessia è a lezione di matematica, allora mangia almeno una mela”, qual'è l’esatta preposizione che vado ad assumere come vera?
Puoi enunciarla in vari modi; uno di essi è "se Alessia è a lezione di matematica, può anche non mangiare mele" oppure "ci sono alcune volte in cui Alessia non mangia mele, pur essendo a lezione di matematica"
"giammaria":
Puoi enunciarla in vari modi; uno di essi è "se Alessia è a lezione di matematica, può anche non mangiare mele" oppure "ci sono alcune volte in cui Alessia non mangia mele, pur essendo a lezione di matematica"
Perchè?
Se dico che non p è: se Alessia è a lezione di matematica, può anche non mangiare mele"
allora p è: se Alessia è a lezione di matematica, allora può mangiare almeno una mela"
Ma io non voglio che la conseguenza di una condizione sia facoltativa, voglio imporre che Alessia almeno una mela la mangi.
$p$: se Alessia è a lezione di matematica, allora mangia almeno una mela
$non$ $p$: Alessia a lezione di matematica non mangia almeno (neanche) una mela .
Premesse:
1) Alessia mangia almeno una mela alle ore 9.00 di ogni martedì (teorema della dieta.)
2) Alessia è a lezione di matematica alle ore 9.00 di ogni martedì e alle ore 11.00 di ogni mercoledì (dimostrazione diretta.)
3) Alessia non ha altre lezioni di matematica oltre quelle del punto 2 (dimostrazione diretta.)
Penso che Alessia mangia almeno una mela ogni volta che è a lezione di matematica e voglio dimostrarlo con una dimostrazione per assurdo.
Teorema della mela
Se Alessia è a lezione di matematica, allora mangia almeno una mela.
Dimostrazione.
Ipotizziamo, per assurdo, che la proposizione
“Se Alessia è a lezione di matematica, allora mangia almeno una mela.” è falsa.
Se la proposizione è falsa, si assume come vera che: “Alessia a lezione di matematica, non mangia almeno (neanche) una mela”;
allora ho una contraddizione con il teorema della dieta.
Per cui la proposizione “Se Alessia è a lezione di matematica, allora mangia almeno una mela” è vera .
C.V.D.
Poi, osservando che Alessia è a lezione di Matematica anche alle ore 11.00 di ogni mercoledì (dimostrazione diretta.), per il teorema della mela matematica, si ha che Alessia mangerà almeno una mela anche alle 11.00 di ogni mercoledì.
Cosi va bene?
Uhm, ora vado oltre quel (poco) che so di logica.
Per me è indimostrabile: per dimostrarla, dalla negazione della tesi dovresti arrivare ad una negazione dell'ipotesi.
Tuttavia, negando la tesi (Alessia non mangia nemmeno una mela) arrivi alla negazione dell'ipotesi (il martedì), ma anche all'ipotesi non negata (il giovedì).
Questo non è del tutto errato perché se da questa ottieni sia l'ipotesi che la sua negazione vuol dire che è falsa a prescindere - ex falso quod... non ricordo che - dunque l'unica cosa certa è che è sicuro che Alessia mangia almeno una mela. La conclusione è "grazie al cavolo".
... tuttavia tale conclusione non aiuta!
EDIT
Comunque credo che la sezione di algebra, logica, ecc... sia più adatta perché ci stiamo addentrando in un discorso da corsi di Logica Matematica piuttosto che di secondarie di secondo grado.
Per il resto il "ex falso quod... (libitur? libet?... boh)" sarebbe il "dal falso può scaturire qualsiasi cosa, cioè dal falso si può dedurre tutto, non ricordo come si dice in italiano... e nemmeno in latino, tra l'altro.
Per me è indimostrabile: per dimostrarla, dalla negazione della tesi dovresti arrivare ad una negazione dell'ipotesi.
Tuttavia, negando la tesi (Alessia non mangia nemmeno una mela) arrivi alla negazione dell'ipotesi (il martedì), ma anche all'ipotesi non negata (il giovedì).
Questo non è del tutto errato perché se da questa ottieni sia l'ipotesi che la sua negazione vuol dire che è falsa a prescindere - ex falso quod... non ricordo che - dunque l'unica cosa certa è che è sicuro che Alessia mangia almeno una mela. La conclusione è "grazie al cavolo".
... tuttavia tale conclusione non aiuta!
EDIT
Comunque credo che la sezione di algebra, logica, ecc... sia più adatta perché ci stiamo addentrando in un discorso da corsi di Logica Matematica piuttosto che di secondarie di secondo grado.
Per il resto il "ex falso quod... (libitur? libet?... boh)" sarebbe il "dal falso può scaturire qualsiasi cosa, cioè dal falso si può dedurre tutto, non ricordo come si dice in italiano... e nemmeno in latino, tra l'altro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo