Dimostrazione geometria solida

[HowardRoark]

Considera due piani, $alpha$ e $beta$, incidenti in $r$ e un punto $P$ esterno ai due piani. Traccia da $P$ le perpendicolari $PH$ e $PK$ ai due piani e da $H$ e $K$ le perpendicolari alla retta $r$. Dimostra che tali perpendicolari intersecano $r$ in uno stesso punto $A$.

Ho difficoltà anche a rappresentare la situazione, come vi mostro dalla foto, in quanto non mi risulta che le perpendicolari condotte da $H$ e $K$ intersechino $r$ in uno stesso punto $A$...

[HowardRoark]

[mgrau]

Ti dico quello che vedo, poi per le dimostrazioni vedi un po' tu...Il piano $gamma = PHK$ è perpendicolare sia a $alpha$ che a $beta$
Se da $H$ tracci la perpendicolare a $r$ fino a $A$, questa retta sta su $gamma$, per cui $A$ è l'intersezione di $r$ e $gamma$. Analogamente con $K$. E siccome c'è una sola intersezione di $r$ e $gamma$...

[HowardRoark]

$AH$ è perpendicolare a $r$ in un punto $A$ e la retta $r$ è perpendicolare a $gamma$ nel medesimo punto $A$. Le rette giacenti su $gamma$ e perpendicolari a $r$ sono infinite: sono tutte le rette del fascio di centro $A$ che giacciono su $gamma$. Quindi concludo che $AK$, complanare di $AH$, è perpendicolare a $r$ in $A$.

è corretto il ragionamento?

Però c'è comunque una cosa che non mi è chiara: come hai dedotto che $gamma$ fosse perpendicolare sia ad $alpha$ che a $beta$?

[mgrau]

Tutti i piani che contengono $PH$ sono perpendicolari ad $alpha$. E tutti i piani che contengono $PK$ sono perpendicolari a $beta$

[HowardRoark]

Ho capito...
Grazie.