Dimostrazione geometria 1 superiore

[glic2002]

Sui lati ab e cd di un parallelogramma abcd costruisci,esternamente ad esso, 2 triangoli equilateri abp e cdq. Dimosra che PQ e O sono allineati, e AQ e PC sono paralleli :thx :thx

[nRT]

Ciao,
non è scritto, ma suppongo che O sia il centro del parallelogramma.
Se è così si può risolvere in questo modo:
facciamo il disegno come da testo e tracciamo le altezze dei triangoli equilateri in modo da avere l'altezza PE del triangolo ABP e l'altezza QF del triangolo DCQ

PE = FQ

perché sono le altezze di due triangoli equilateri aventi base di stessa lunghezza ( AB = CD )

E ed F sono i punti medi di AB e CD rispettivamente, quindi il segmento EF passa per O.
E, O e F sono allineati perché appartengono allo stesso segmento, inoltre:

EO = OF

Possiamo anche verificare che

[math]P \hat EO = O \hat FQ[/math]

perché somma di un angolo retto (

[math]A \hat EP[/math]

e

[math]C \hat FQ[/math]

) più i due angoli congruenti

[math]A \hat EO[/math]

e

[math]C \hat FO[/math]

(angoli alterni interni).

I triangoli EPO e FOQ sono quindi congruenti (due lati e l'angolo fra essi compreso congruenti).

Se E, O ed F sono allineati, gli angoli

[math]F \hat OQ[/math]

ed

[math]E \hat OP[/math]

sono congruenti, allora anche P, O e Q sono allineati.

Per il secondo punto:

[math]AQ \parallel PC [/math]

Consideriamo i triangoli ADQ e BCP .

[math]AD = BC \\
DQ = BP \\
A \hat DQ = C \hat BP \\
[/math]

(perché somma degli angoli di 60° del triangolo equilatero con gli angoli opposti del parallelogramma.)
Ricaviamo che i triangoli ADQ e BCP sono congruenti.
Questo significa che:

[math]D \hat AQ = B \hat CP[/math]

Essendo AD e BC paralleli e gli angoli

[math]D \hat AQ[/math]

e

[math]B \hat CP[/math]

congruenti (presi entrambi in senso antiorario partendo dal lato del parallelogramma), allora AQ e CP sono paralleli.

Spero ti sia stato d'aiuto. Se qualcosa non è chiaro chiedi pure.
Ciao :)