Dimostrazione formula di addizione del seno

[siddy98]

Conosco tre diversi metodi per dimostrare che $ sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx $. Tuttavia, tutti e tre valgono soltanto se i due angoli sono compresi tra $ 0 $ e $ \pi/2 $, e per generalizzare la formula occorre ripetere il ragionamento imponendo che gli angoli appartengano a quadranti diversi, e i libri che ho infatti scrivono soltanto "la dimostrazione è analoga per gli altri quadranti". Mi chiedevo: esiste un modo diretto per dimostrare questa formula che valga per qualsiasi angolo?

[@melia]

Di solito dimostro la formula del coseno della differenza, usando le distanze su piano cartesiano, che quindi non dipendono dal quadrante, e dimostro il seno della somma utilizzando gli archi associati.