Dimostrazione disuguaglianza di Pedoe

[anonymous_c5d2a1]

Salve a tutti, mi sono imbattuto nella disuguaglianza di Pedoe relativa a due triangoli. Siano $a$, $b$ e $c$

lunghezze dei lati di un triangolo di area $f$ e $A$, $B$ e $C$ lunghezze dei lati di un triangolo di area $F$,

allora vale la seguente disuguaglianza:

$A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)>=16fF$

Non riesco a trovare da nessuna parte la relativa dimostrazione.

[axpgn]

Non è affatto banale, sicuro che c'entri con questa sezione?

Ho trovato qualcosa che però rimanda ad un'altra disuguaglianza che a sua volta fa riferimento ad un'altra
Appena posso cerco di rimettere insieme i pezzi e provo a scriverla qui ...


Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ho trovato questa:

Siano $ABC$ e $A'B'C'$ due triangoli qualsiasi, con $a,b,c$ e $a',b',c'$ i rispettivi lati e $S, S'$ le rispettive aree.
Si tratta di dimostrare che $a^2(-a'^2+b'^2+c'^2)+b^2(a'^2-b'^2+c'^2)+c^2(a'^2+b'^2-c'^2)>=16SS'$, con l'uguaglianza quando i triangoli sono simili.

Dimostrazione:

Costruire sul lato $BC$, dalla parte del vertice $A$, il triangolo $A''BC$ simile al triangolo $A'B'C'$.
Allora la distanza $A A''$ è zero solo se i due triangoli $ABC$ e $A'B'C'$ sono simili.

Per la legge del coseno, abbiamo:

$a'^2(A A'')^2=a'^2b^2+b'^2a^2-2aa'b b'cos(C'-C)=$

$=a'^2b^2+b'^2a^2-2aa'b b'cosC'cosC-2aa'b b'sinC'sinC>=0$


Ne consegue che $a'^2b^2+b'^2a^2-2aa'b b'cosC'cosC>=8SS'$ ovvero

$a'^2b^2+b'^2a^2-[(b^2+a^2-c^2)(b'^2+a'^2-c'^2)]/2>=8SS'$ ovvero

$a^2(-a'^2+b'^2+c'^2)+b^2(a'^2-b'^2+c'^2)+c^2(a'^2+b'^2-c'^2)>=16SS'$

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Sparito?