Dimostrazione di geometria (poligoni inscrittibili)
Ciao a tutti! Questo è il mio primo post sul forum.
Comunque volevo chiedervi un aiuto riguardo a questa dimostrazione:
Per un punto D del diametro AB di una semicirconferenza, conduci la perpendicolare ad AB che interseca la semicirconferenza in M. Per un punto C dell'arco MB conduci la tangente t. La retta DM incontra rispettivamente in E, in F e in P le rette AC, BC e t.
a. Dimostra che i quadrilateri BCED e ADCF sono inscrittibili.
b. Dimostra che i triangoli EPC e FPC sono isosceli e concludi che P è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo FEC.
Io sono riuscito solo a dimostrare che il quadrilatero BCED è inscrittibile poiché ha gli angoli opposti EDB e ECB supplementari, dato che sono entrambi angoli retti. L'unico grosso problema è dimostrare che ADCF è inscrittibile e, di conseguenza, non riesco ad andare avanti. Ho lavorato molto sugli angoli, ovviamente, ma senza trarre una conclusione adatta. Se può servire, i triangoli ADC e OCB sono isosceli. Ho molte congruenze sotto mano ma non voglio poi rischiare di confondere le idee alla persona che si offrirà di aiutarmi. In caso ve le posso scrivere più avanti a ragionamento in corso.
Vi ringrazio in anticipo. \
Aggiunto 1 ore 51 minuti più tardi:
Ho dovuto modificare la mia figura perché, da quanto ho intuito dalla tua spiegazione, hai messo il punto D tra il punto O (punto medio del diametro AB) e il punto B del diametro AB. Io lo avevo messo tra il punto A e il punto O e, di conseguenza, non riuscivo a vedere il trapezio. Adesso, dopo aver letto la tua spiegazione, ragiono sulla figura e vediamo se ho ancora dei dubbi... Comunque, ho capito tutto a parte una cosa: perché l'angolo E (DEA o FEC) dovrebbe essere congruente con CBA?
Mi riferisco a questo punto:
Aggiunto 19 minuti più tardi:
Perfetto, è proprio quello che ho ottenuto correggendo la mia figura.
Grazie mille.
Comunque volevo chiedervi un aiuto riguardo a questa dimostrazione:
Per un punto D del diametro AB di una semicirconferenza, conduci la perpendicolare ad AB che interseca la semicirconferenza in M. Per un punto C dell'arco MB conduci la tangente t. La retta DM incontra rispettivamente in E, in F e in P le rette AC, BC e t.
a. Dimostra che i quadrilateri BCED e ADCF sono inscrittibili.
b. Dimostra che i triangoli EPC e FPC sono isosceli e concludi che P è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo FEC.
Io sono riuscito solo a dimostrare che il quadrilatero BCED è inscrittibile poiché ha gli angoli opposti EDB e ECB supplementari, dato che sono entrambi angoli retti. L'unico grosso problema è dimostrare che ADCF è inscrittibile e, di conseguenza, non riesco ad andare avanti. Ho lavorato molto sugli angoli, ovviamente, ma senza trarre una conclusione adatta. Se può servire, i triangoli ADC e OCB sono isosceli. Ho molte congruenze sotto mano ma non voglio poi rischiare di confondere le idee alla persona che si offrirà di aiutarmi. In caso ve le posso scrivere più avanti a ragionamento in corso.
Vi ringrazio in anticipo. \
Aggiunto 1 ore 51 minuti più tardi:
Ho dovuto modificare la mia figura perché, da quanto ho intuito dalla tua spiegazione, hai messo il punto D tra il punto O (punto medio del diametro AB) e il punto B del diametro AB. Io lo avevo messo tra il punto A e il punto O e, di conseguenza, non riuscivo a vedere il trapezio. Adesso, dopo aver letto la tua spiegazione, ragiono sulla figura e vediamo se ho ancora dei dubbi... Comunque, ho capito tutto a parte una cosa: perché l'angolo E (DEA o FEC) dovrebbe essere congruente con CBA?
Mi riferisco a questo punto:
# ciampax :
...Allora anche i triangoli AED e CEF sono simili, anche essi rettangoli e con angoli in E uguali perché opposti al vertice. Inoltre l'angolo in E di questi triangoli è congruente a quello in B.
Aggiunto 19 minuti più tardi:
Perfetto, è proprio quello che ho ottenuto correggendo la mia figura.
Grazie mille.
Risposte
Visto che sei riuscito a dimostrare l'inscrittibilità di BCED, avrai anche mostrato che i due angoli considerati sono retti. Ora considera i triangoli BFD e ABC: essi sono simili perche entrambi rettangoli e con angolo B in comune. Allora anche i triangoli AED e CEF sono simili, anche essi rettangoli e con angoli in E uguali perché opposti al vertice. Inoltre l'angolo in E di questi triangoli è congruente a quello in B.
ora torna a considerare il quadrilatero EDBC: dal momento che ha due angoli retti, si può dimostrare (come fai?) che i triangoli EDC e BCD sono isosceli e che quindi BC=BD, ED=EC.
Da questo e dalla similitudine vista prima, dimostri che i triangoli ADE e CEF sono congruenti e quindi AD=CF.
Considera il triangolo AEF: esso è isoscele (perché FE=EA) e quindi gli angoli in A e F sono uguali e pari alla metà di quello in B (infatti l'angolo in E di questo triangolo è il supplementare di quello in B). Ma allora, ragionando su questo fatto, dimostri che il quadrilatero ADCF e un trapezio isoscele che è, ovviamente, inscrivibile.
Per il secondo punto, una volta note queste cose, diventa tutto molto semplice.
Aggiunto 1 ore 6 minuti più tardi:
La figura corretta è questa. prova a ragionarci su.
ora torna a considerare il quadrilatero EDBC: dal momento che ha due angoli retti, si può dimostrare (come fai?) che i triangoli EDC e BCD sono isosceli e che quindi BC=BD, ED=EC.
Da questo e dalla similitudine vista prima, dimostri che i triangoli ADE e CEF sono congruenti e quindi AD=CF.
Considera il triangolo AEF: esso è isoscele (perché FE=EA) e quindi gli angoli in A e F sono uguali e pari alla metà di quello in B (infatti l'angolo in E di questo triangolo è il supplementare di quello in B). Ma allora, ragionando su questo fatto, dimostri che il quadrilatero ADCF e un trapezio isoscele che è, ovviamente, inscrivibile.
Per il secondo punto, una volta note queste cose, diventa tutto molto semplice.
Aggiunto 1 ore 6 minuti più tardi:
La figura corretta è questa. prova a ragionarci su.
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