Dimostrazione di geometria analitica
Salve a tutti!! ho un problema con un quesito di teoria di matematica che ci ha assegnato il prof:
"Dimostra che la distanza tra due rette parallele $r:ax+by+x=0$ e $r': a'x+b'y+c'=0$ con $a=a'$ o $b=b'$ è data da $d(r, r')=|c-c'|/sqrt(a^2+b^2)$."
Allora, io ho fatto un disegno generico e ho detto: si consideri un punto qualsiasi A appartenente ad r. Tale punto avrà coordinate $A(-(by)/a, -(ax)/c)$. La distanza da r' sarà, pertanto, applicando la formula $|-a'*(by+c)/a-b'*(ax+c)/b+c'|/sqrt(a^2+b^2)=|-b^2y-cb-b'ax-b'c+c'b|/sqrt(a^2+b^2)$...però non riesco ad arrivare al c.v.d. Come devo fare?
"Dimostra che la distanza tra due rette parallele $r:ax+by+x=0$ e $r': a'x+b'y+c'=0$ con $a=a'$ o $b=b'$ è data da $d(r, r')=|c-c'|/sqrt(a^2+b^2)$."
Allora, io ho fatto un disegno generico e ho detto: si consideri un punto qualsiasi A appartenente ad r. Tale punto avrà coordinate $A(-(by)/a, -(ax)/c)$. La distanza da r' sarà, pertanto, applicando la formula $|-a'*(by+c)/a-b'*(ax+c)/b+c'|/sqrt(a^2+b^2)=|-b^2y-cb-b'ax-b'c+c'b|/sqrt(a^2+b^2)$...però non riesco ad arrivare al c.v.d. Come devo fare?
Risposte
In sostanza hai due rette parallele $r_1 : y = mx + q$ e $r_2 : y = mx + q'$ . Considera il punto $P_1 (0,q)$ e considera la retta perprendicolare a $r_1 , r_2$ passante per $P_1$ e chiamala $s$. Trova l'intersezione tra $s$ e $r_2$ :
$s : y - q = - 1/m x$
$s : y = - 1/m x + q$ a sistema con $r_2 : y = mx + q'$.
Troverai un punto $P_2$ . La distanza $P_1 P_2$ è la distanza tra le due rette (però è in termini di $m, q, q'$).
Non so, forse i conti sono più semplici rispetto a quelli del procedimento che prevede l'uso della formula che usi tu...
$s : y - q = - 1/m x$
$s : y = - 1/m x + q$ a sistema con $r_2 : y = mx + q'$.
Troverai un punto $P_2$ . La distanza $P_1 P_2$ è la distanza tra le due rette (però è in termini di $m, q, q'$).
Non so, forse i conti sono più semplici rispetto a quelli del procedimento che prevede l'uso della formula che usi tu...
Aggiungo una nota che non si riferisce - in particolare - a questo problema.
E' un errore buttarsi nei calcoli senza pensare ad un modo per semplificare il problema (molte volte è utilissimo operare una traslazione del sistema di riferimento, per esempio!).
E' un errore buttarsi nei calcoli senza pensare ad un modo per semplificare il problema (molte volte è utilissimo operare una traslazione del sistema di riferimento, per esempio!).
Avevo scritto qualcosa ma mi riferivo alla soluzione prospettata prima.
"Senofane94":
Salve a tutti!! ho un problema con un quesito di teoria di matematica che ci ha assegnato il prof:
"Dimostra che la distanza tra due rette parallele $r:ax+by+x=0$ e $r': a'x+b'y+c'=0$ con $a=a'$ o $b=b'$ è data da $d(r, r')=|c-c'|/sqrt(a^2+b^2)$."
Allora, io ho fatto un disegno generico e ho detto: si consideri un punto qualsiasi A appartenente ad r. Tale punto avrà coordinate $A(-(by)/a, -(ax)/c)$. La distanza da r' sarà, pertanto, applicando la formula $|-a'*(by+c)/a-b'*(ax+c)/b+c'|/sqrt(a^2+b^2)=|-b^2y-cb-b'ax-b'c+c'b|/sqrt(a^2+b^2)$...però non riesco ad arrivare al c.v.d. Come devo fare?
Tutto OK fino al penultimo passaggio. Ricorda che se le rette sono parallele da a=a' segue che anche b=b' e quindi nel passaggio indicato puoi semplificare a con a' e b con b'. Raccogliendo e facendo i nuovi calcoli e cambiando tutti i segni ( lo puoi fare perché ti trovi nell'argomento di un valore assoluto) otterrai l'equazione della retta ( che porrai uguale a 0) e c - c'.
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