Dimostrazione di geometria (239281)

[LiliC]

Sia ABC un triangolo equilatero il cui lato misura 2a e M il punto medio di AB, considera un punto P sul lato BC e indica con H la sua proiezione su AC Determina P in modo che l'area del triangolo PHC sia 4/3 dell'area del triangolo PMB

[mc2]

Pongo PC=x

Tutti gli angoli di un triangolo equilatero sono di 60 gradi, quindi PCH=60gradi, percio` consederando il triangolo rettangolo CHP:

[math] CH=\frac{x}{2} \\ PH=\frac{\sqrt{3}}{2}x[/math]

e l'area di PHC e`:

[math]S_{PHC}=\frac{1}{2}\frac{x}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{\sqrt{3}x^2}{8}[/math]

Analogamente : PB=2a-x e l'altezza del triangolo BPM e'

[math](2a-x)\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

, per cui la sua area e`:

[math]S_{PBM}=\frac{1}{2}a(2a-x)\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}a(2a-x)}{4}[/math]

La condizione da imporre e`:

[math]\frac{\sqrt{3}x^2}{8}=\frac{4}{3}\frac{\sqrt{3}a(2a-x)}{4}[/math]

basta semplificare e risolvere l'equazione