Dimostrazione della derivata di |x|
Salve, stavo dando un'occhiata in internet per cercare la derivata della funzione $ f(x)=|x| $ e ho trovato questo link. Qui dice che se $f(x)=|x|$ allora $f'(x)=x/|x|$. In particolare "vede" questa derivata come caso particolare di $f(x)=x^n$. Volevo sapere come si dimostra? Cioè come si può scrivere la funzione valore assoluto sotto forma di funzione esponenziale?
Risposte
"raffamaiden":
sotto forma di funzione esponenziale?
La funzione esponenziale è un'altra cosa... Tu puoi eliminare il modulo scrivendo:
$|f(x)| = {( f(x), if f(x) >= 0 ), ( - f(x), if f(x) < 0 ):}$
Cioè definisci la funzione $|f(x)|$ a tratti. Questo ti consente di non introdurre la funzione $x/(|x|)$ quando vai a derivare.
Ti è chiaro?
Mamma mia com'è brutto quel link. Intanto $x \mapsto |x|$ non è una funzione derivabile per ogni $x$, anzi è il primo è più importante esempio di funzione non derivabile per $x=0$, quindi già metterla senza ulteriori specificazioni nella tavola delle funzioni derivabili è un crimine. Poi, perché sarebbe un "caso particolare" della regola di derivazione della potenza? E quella notazione $y=f(x)$...sigh... 
Ti consiglierei di lasciar perdere quel sito che raccoglie tutti i peggiori cliché della matematica scolastica, e visita invece http://www.batmath.it/ che è tutta un'altra cosa.
Ti consiglierei di lasciar perdere quel sito che raccoglie tutti i peggiori cliché della matematica scolastica, e visita invece http://www.batmath.it/ che è tutta un'altra cosa.
Scusa per la funzione esponenziale. Il mio problema è un'altro.
Nel sito definisce la funzione potenza $f(x) = x^n$ e dice che $f'(x)=nx^{n-1}$ e fin qui lo so dimostrare mediante definizione di derivata.
Ora vengono analizzati i casi particolari, ovvero $f(x)=x$ (caso particolare per $n=1$), poi $f(x) = 1/x$ (caso per $n=-1$), $f(x)=sqrt(x)$ (caso per $n=1/2$), e poi, sempre nei casi particolari, c'è $f(x)=|x|$ che è caso particolare per n uguale a cosa? Cioè scomponendo il valore assoluto con quel sistema, come si riconduce $f(x)=|x|$ alla funzione $f(x)=x^n$?
Nel sito definisce la funzione potenza $f(x) = x^n$ e dice che $f'(x)=nx^{n-1}$ e fin qui lo so dimostrare mediante definizione di derivata.
Ora vengono analizzati i casi particolari, ovvero $f(x)=x$ (caso particolare per $n=1$), poi $f(x) = 1/x$ (caso per $n=-1$), $f(x)=sqrt(x)$ (caso per $n=1/2$), e poi, sempre nei casi particolari, c'è $f(x)=|x|$ che è caso particolare per n uguale a cosa? Cioè scomponendo il valore assoluto con quel sistema, come si riconduce $f(x)=|x|$ alla funzione $f(x)=x^n$?
"raffamaiden":Te l'ho detto: non si riconduce. Chissà che cosa voleva dire l'autore di quella pagina.
come si riconduce $f(x)=|x|$ alla funzione $f(x)=x^n$?
forse $|x|=sqrt(x^2)=(x^2)^(1/2)$ ?
$f'(x)=(1/2)(x^2)^(-1/2)(2x)=x(x^2)^(-1/2)=x/(x^2)^(1/2) =x/|x|$
$f'(x)=(1/2)(x^2)^(-1/2)(2x)=x(x^2)^(-1/2)=x/(x^2)^(1/2) =x/|x|$
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