Dimostrazione con similitudini- scuola superiore

[Bustanino]

Ciao a tutti! Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere una dimostrazione. Ci provo da giorni, ma mi blocco sempre nello stesso punto.
Intanto, questo è il testo:

DISEGNA UN TRAPEZIO E INDICA CON O IL PUNTO DI INTERSEZIONE DELLE DIAGONALI. DIMOSTRA CHE O DIMEZZA LA CORDA MN PASSANTE PER O E PARALLELA ALLE BASI AB E CD. (SUGGERIMENTO. UTILIZZA LA SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI ABD E MOD E DEI TRIANGOLI ABC E ONC E LA PRIMA APPLICAZIONE DEI CRITERI DI SIMILITUDINE.)

Io ho pensato che una volta dimostrato che ABD è simile a MOD e ABC è simile a ONC, si può dire che MOD è simile a ONC perchè ABD è congruente ad ABC.
Successivamente,tracciando le altezze di ONC e MOD si ottiene un rettangolo, per cui con la proporzione si dimostra che MO è congruente a ON.
Il mio problema è che non riesco a dimostrare che ABD è simile a MOD e ABC è simile a ONC. (Trovo solo un angolo corrispondente e serve o un altro angolo o proporzioni tra lati per i criteri). CHIEDO IL VOSTRO AIUTO!
Grazie in anticipo.

[nRT]

Ciao,
nel testo manca qualche cosa: si parla di corda MN, ma non si dice che cosa sono M e N. Esiste anche una circonferenza dal momento che si parla di corda?
Controlla e ricopia tutto il testo. Attenzione a non tralasciare particolari che potrebbero essere importanti per risolvere la dimostrazione. ;)

[nRT]

Ciao,
se il testo è corretto mi lascia un po' perplesso. Intanto ti allego due immagini dove puoi verificare che il trapezio può essere sia inscritto che circoscritto alla circonferenza, e per di più non è necessario che sia isoscele.
A volte parte delle istruzioni sono lasciate all'inizio di un gruppo di esercizi. Verifica bene se c'è tutto o se manca qualcosa.

Comunque sia, supponiamo che il testo sia corretto e interpretiamolo come hai cominciato tu. Non preoccuparti se non sei riuscito a dimostrare che i triangoli

[math]ABD[/math]

e

[math]DMO[/math]

sono simili, perché non ci sono riuscito neanch'io. Forse non lo sono?
Proviamo a verificarlo. Guarda il terzo disegno: l'angolo

[math]D \hat MO[/math]

non è congruente a nessuno dei tre angoli del triangolo

[math]ABD[/math]

. Al tendere di

[math]\overline{CD}[/math]

a 0, l'angolo

[math]D \hat MO[/math]

tende a zero mentre il trapezio tende a un triangolo e nessun angolo del triangolo

[math]ABD[/math]

tende a zero.

Con questo abbiamo provato che il testo è scorretto. La tesi da dimostrare però non lo è. Ecco qui di seguito i passaggi principali per dimostrarlo:
- i triangoli

[math]ABO[/math]

e

[math]CDO[/math]

sono isosceli

- chiamiamo

[math]H[/math]

il punto di intersezione tra

[math]AB[/math]

e l'altezza del triangolo

[math]ABO[/math]

passante per

[math]O[/math]

- la retta

[math]r[/math]

passante per

[math]HO[/math]

passa per il centro della circonferenza perché passa per il punto medio della corda

[math]AB[/math]

ed è perpendicolare ad

[math]AB[/math]

-

[math]r[/math]

è quindi perpendicolare alla corda

[math]MN[/math]

, passa per il centro della circonferenza e per

[math]O[/math]

- il punto

[math]O[/math]

è quindi punto medio della corda

[math]MN[/math]

.


Spero ti sia stato d'aiuto. Se qualcosa non torna scrivi pure :)
Ciao