Dimostrazione con limiti e trigonometria della
Salve ringrazio anticipatamente
Vorrei sapere se possibile una spiegazione della dimostrazione della lunghezza della circonferenza e dell area del cerchio considerando i poligoni regolari inscritti nella circonferenza mediante l ausilio della trigonometria e dei limiti
Vorrei sapere se possibile una spiegazione della dimostrazione della lunghezza della circonferenza e dell area del cerchio considerando i poligoni regolari inscritti nella circonferenza mediante l ausilio della trigonometria e dei limiti
Risposte
Certo, era proprio uno dei quesiti della maturità di quest'anno 
tutto sta nel dividere il poligono in tanti triangolini...da lì è facile ricavarne l'area e il lato che ti serve per il perimetro. Vuoi provare tu? 
tutto sta nel dividere il poligono in tanti triangolini...da lì è facile ricavarne l'area e il lato che ti serve per il perimetro. Vuoi provare tu?
Si esatto!! Il problema è che ho anche la dimostrazione scritta ma non riesco a darle un senso 
Allora io partirei dall'area: come saprai, l'area di un triangolo può essere calcolata così $A=(a*b*sinx)/2$. L'angolo è quello al centro ovviamente e varrà $2pi/n$ dove $n$ è il numero dei lati del poligono. A questo punto, l'area del triangolino sarà $(r*r*sin(2pi/n))/2$ dove il raggio rappresenta i due lati del triangolino isoscele. A questo punto, l'area del poligono di $n$ lati sarà l'area di $n$ triangolini, dunque $A_p = nr^2/2sin(2pi/n)$. Per trovare l'area del cerchio dobbiamo ovviamente calcolare
$lim_(n rarr +oo) nr^2/2 sin(2pi/n)$.
Vuoi provare a concludere?
$lim_(n rarr +oo) nr^2/2 sin(2pi/n)$.
Vuoi provare a concludere?
Perche l angolo al centro vale il rapporto tra pigreco ed n??
Ok perfetto tutto chiaro 
per quanto riguarda la lunghezza della circonferenza invece???
per quanto riguarda la lunghezza della circonferenza invece???
Per concludere non dovremmo far tendere n all infinito anzicché x?
Anche perché c'è solo $n$ e la $x$ manca ... 
Pardon, errore madornale 
correggo! Comunque per il perimetro basta trovare il lato del triangolino dividendolo ancora in due triangoli rettangoli.
correggo! Comunque per il perimetro basta trovare il lato del triangolino dividendolo ancora in due triangoli rettangoli.
Ma figurati...è anche piuttosto tardi e sei stato gentilissimo...un ultima cosa,potresti spiegarmi un po piu dettagliatamente dal punto di vista teorico e delle formule la questione dei due triangolini rettangoli?
Certo in effetti ho un po' arronzato comunque allora ci serve il terzo lato... essendo triangolini isosceli, l'altezza relativa alla base sarà anche bisettrice dell angolo $(2pi)/n$ e mediana. Applichiamo un famoso teorema e abbiamo che il lato del poligono sarà $2r*sin(pi/n)$ (ipotenusa per il seno dell'angolo opposto, ovvero $(2pi)/(2n)$, moltiplicato per due ovviamente). A questo punto possiamo calcolare il limite (stavolta con $n$ )
$lim_(n rarr +oo) 2n*r*sin(pi/n)$
comunque allora ci serve il terzo lato... essendo triangolini isosceli, l'altezza relativa alla base sarà anche bisettrice dell angolo $(2pi)/n$ e mediana. Applichiamo un famoso teorema e abbiamo che il lato del poligono sarà $2r*sin(pi/n)$ (ipotenusa per il seno dell'angolo opposto, ovvero $(2pi)/(2n)$, moltiplicato per due ovviamente). A questo punto possiamo calcolare il limite (stavolta con $n$ )$lim_(n rarr +oo) 2n*r*sin(pi/n)$
Dovrei calcolare la corda AB giusto?? Base del triangolo ..ma non capisco perche debba essere presnete,nella formula 2rsen2a ,il 2a anzicchè solo a
Perché l'altezza (che è mediana e bisettrice) interseca la corda nel suo punto medio, dunque tu lavori su due triangoli rettangoli congruenti. Di conseguenza avremo che metà corda sarà $r*sin(pi/n)$ e dunque l'intera corda (alias lato del poligono) sarà $2*r*sin(pi/n)$ che moltiplicato per $n$ ci dà ovviamente il perimetro.
Quindi immagino di avere una cironferenza ed un poligono iscritto,diciamo un pentagono ad esempio,io unisco ogni vertice del pentagono con il centro della circonferenza,avrò 5 triangolini isosceli giusto?,traccio la perpendicolare dal vertice di uno di questi triangolini.essa è bisettrice della porzione di angolo al centro e mediana della corda che sarebbe la base, chiamamola AB, di questo triangolo isoscelee e poi seguo il tuo ragionamento applicando il teorema della corda alla corda AB giusto?
Giusto, solo che il teorema lo applichi su $(AB)/2$.
Perfetto,grazie...un ultima cosa poi nn ti rompo piu le scatole quando faccio il calcolo del limite avrò il limite di n tendende a piu infinito di $((2r*sin*)(\pi/n))/(1/n)$ e poi entrambi i membri li moltiplico per n in modo da eliminare n...l unica cosa che resta pero è il sen di pigreco..come si puo ovviare?
quando faccio il calcolo del limite avrò il limite di n tendende a piu infinito di $((2r*sin*)(\pi/n))/(1/n)$ e poi entrambi i membri li moltiplico per n in modo da eliminare n...l unica cosa che resta pero è il sen di pigreco..come si puo ovviare?
Da come l'hai scritto sembri intenzionato ad usare l'Hopital, ma c'è un altro metodo . Allora abbiamo il limite
$lim_(n rarr +oo) n*2r*sin(pi/n)$
Notiamo che per $n rarr +oo$, la quantità $pi/n rarr 0$ dunque moltiplichiamo e dividiamo per $pi/n$:
$lim_(n rarr +oo) (n*2r*sin(pi/n))/(pi/n) * (pi/n)$
Ora notiamo che il limite
$lim_(n rarr +oo) sin(pi/n)/(pi/n)$ è riconducibile a
$lim_(x rarr 0) sinx/x$ e dunque fa $1$! A questo punto abbiamo:
$lim_(n rarr +oo) n*2r*(pi/n) = 2pir$
. Allora abbiamo il limite $lim_(n rarr +oo) n*2r*sin(pi/n)$
Notiamo che per $n rarr +oo$, la quantità $pi/n rarr 0$ dunque moltiplichiamo e dividiamo per $pi/n$:
$lim_(n rarr +oo) (n*2r*sin(pi/n))/(pi/n) * (pi/n)$
Ora notiamo che il limite
$lim_(n rarr +oo) sin(pi/n)/(pi/n)$ è riconducibile a
$lim_(x rarr 0) sinx/x$ e dunque fa $1$! A questo punto abbiamo:
$lim_(n rarr +oo) n*2r*(pi/n) = 2pir$
Scusate ma c'è qualcosa che mi sfugge ... 
Vorrei capire meglio cosa vorresti dimostrare perché la tua domanda iniziale
Cosa significa "dimostrazione della lunghezza"? Potresti postare il testo originale e la dimostrazione che hai?
Cordialmente, Alex
Vorrei capire meglio cosa vorresti dimostrare perché la tua domanda iniziale
"Arkimonde":
... Vorrei sapere se possibile una spiegazione della dimostrazione della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio ...
Cosa significa "dimostrazione della lunghezza"? Potresti postare il testo originale e la dimostrazione che hai?
Cordialmente, Alex
Le dimostrazioni,mediante l uso della trigonometria e dei limiti,sono quelle illustrate dall utente andar9896 ;) che ringrazio
Lo so già questo, vorrei capire "cosa" devi dimostrare perché quella frase non lo dice ... ... per questo ti chiedevo di postare il testo originale ...
Cordialmente, Alex
... per questo ti chiedevo di postare il testo originale ...Cordialmente, Alex
Oh scusami...la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio!
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