Dimostrazione circonferenza e triangoli

[elios2]

Siano $L_1$ e $L_2$ le lunghezze dei perimetri di due triangoli equilateri, rispettivamente iscritto e circoscritto ad una circonferenza di lunghezza $L$. Siano $A_1$, $A_2$ e $A$ rispettivamente le aree dei due triangoli e del cerchio racchiuso dalla circonferenza. Mostrare che
$L_1*L_2>L^2$
$A_1*A_2
[La cosa che so per certo è che $L_1

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Risposte

fedeb2

28 dic 2007, 12:21

ti puoi ricavare aree e perimetri dei triangoli in funzione del raggio $r$ della circonferenza.
da li le disuguaglianze dovrebbero essere ovvie
PS: non posto la soluzione perche non mi ricordo le relazioni quando la circonferenza è inscritta nel triangolo.
pertanto se qualcuno mi rispolvera la memoria mi farebbe un piacere

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franced

28 dic 2007, 20:52

Puoi prendere $R=1$.
Il lato del triangolo equilatero inscritto è $\sqrt{3}$, mentre l'altezza è pari a $\frac{3}{2}$.
Per il triangolo equilatero circoscritto basta considerare il fatto che è omotetico rispetto a quello
inscritto con rapporto 2.

Francesco Daddi

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franced

28 dic 2007, 20:56

"franced":Puoi prendere $R=1$.
Il lato del triangolo equilatero inscritto è $\sqrt{3}$, mentre l'altezza è pari a $\frac{3}{2}$.
Per il triangolo equilatero circoscritto basta considerare il fatto che è omotetico rispetto a quello
inscritto con rapporto 2.

Francesco Daddi

Chiaramente si deve fare attenzione al fatto che i perimetri sono in rapporto 1:2,
ma le aree sono in rapporto 1:4.

Francesco Daddi

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elios2

28 dic 2007, 22:07

Grazie.. Ti volevo chiedere, qual è la formula generale per ricavare il perimetro del poligono/triangolo inscritto?

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Sk_Anonymous

29 dic 2007, 11:22

Siano $L_n=A'B',l_n=AB$ rispettivamente i lati dei poligoni,di n lati, circoscritto ed inscritto nella circonferenza di centro O e raggio r.Dalla figura si ricava facilamente che:
$L_n=2*M'B'=2*OM'*tan(pi/n)=2r*tan(pi/n)$, $l_n=2*MB=2*OB*sin (pi/n)=2r*sin(pi/n)$
Pertanto ,indicando con $P_n,p_n$ il perimetro "circoscritto" e quello "inscritto",risulta ovviamente:
$P_n=2nr*tan(pi/n),p_n=2nr*sin(pi/n)$
In particolare per n=3 ed n=4 si ottengono le note formule:
$L_3=2rsqrt3,l_3=rsqrt3,P_3=6rsqrt3,p_3=3rsqrt3$
$L_4=2r,l_4=rsqrt2,P_4=8r,p_4=4rsqrt2$
Piccola parentesi (non per elios).
Si ha :
$lim_(n rightarrow oo)p_n=lim_(n rightarrow oo)[2pir*sin(pi/n)/((pi/n))]=2 pi r$
Analogamente per $P_n$ e questo prova che la circonferenza si può considerare come limite del contorno del poligono regolare (inscritto o circoscritto ad essa ) con un numero infinito di lati.Cosa del resto abbastanza "intuitiva".
Ciao

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elios2

29 dic 2007, 12:03

Chiaro, grazie! Ho anche capito "intuitivamente" il limite

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[fedeb2]

ti puoi ricavare aree e perimetri dei triangoli in funzione del raggio $r$ della circonferenza.
da li le disuguaglianze dovrebbero essere ovvie
PS: non posto la soluzione perche non mi ricordo le relazioni quando la circonferenza è inscritta nel triangolo.
pertanto se qualcuno mi rispolvera la memoria mi farebbe un piacere

[franced]

Puoi prendere $R=1$.
Il lato del triangolo equilatero inscritto è $\sqrt{3}$, mentre l'altezza è pari a $\frac{3}{2}$.
Per il triangolo equilatero circoscritto basta considerare il fatto che è omotetico rispetto a quello
inscritto con rapporto 2.

Francesco Daddi

[franced]

"franced":Puoi prendere $R=1$.
Il lato del triangolo equilatero inscritto è $\sqrt{3}$, mentre l'altezza è pari a $\frac{3}{2}$.
Per il triangolo equilatero circoscritto basta considerare il fatto che è omotetico rispetto a quello
inscritto con rapporto 2.

Francesco Daddi

Chiaramente si deve fare attenzione al fatto che i perimetri sono in rapporto 1:2,
ma le aree sono in rapporto 1:4.

Francesco Daddi

[elios2]

Grazie.. Ti volevo chiedere, qual è la formula generale per ricavare il perimetro del poligono/triangolo inscritto?

[Sk_Anonymous]

Siano $L_n=A'B',l_n=AB$ rispettivamente i lati dei poligoni,di n lati, circoscritto ed inscritto nella circonferenza di centro O e raggio r.Dalla figura si ricava facilamente che:
$L_n=2*M'B'=2*OM'*tan(pi/n)=2r*tan(pi/n)$, $l_n=2*MB=2*OB*sin (pi/n)=2r*sin(pi/n)$
Pertanto ,indicando con $P_n,p_n$ il perimetro "circoscritto" e quello "inscritto",risulta ovviamente:
$P_n=2nr*tan(pi/n),p_n=2nr*sin(pi/n)$
In particolare per n=3 ed n=4 si ottengono le note formule:
$L_3=2rsqrt3,l_3=rsqrt3,P_3=6rsqrt3,p_3=3rsqrt3$
$L_4=2r,l_4=rsqrt2,P_4=8r,p_4=4rsqrt2$
Piccola parentesi (non per elios).
Si ha :
$lim_(n rightarrow oo)p_n=lim_(n rightarrow oo)[2pir*sin(pi/n)/((pi/n))]=2 pi r$
Analogamente per $P_n$ e questo prova che la circonferenza si può considerare come limite del contorno del poligono regolare (inscritto o circoscritto ad essa ) con un numero infinito di lati.Cosa del resto abbastanza "intuitiva".
Ciao

[elios2]

Chiaro, grazie! Ho anche capito "intuitivamente" il limite