Dimostrazione
ieri mentre facevo i compiti mi è venuta in mente quest'espressione:
$2^(3n)-1$ ho notato che per $n>0$ è sempre divisibile per 7.
ho assegnato parecchi valori a n e ho notato che la regola valeva sempre; siccome con i numeri non si dimostra nulla ho cercato un dimostrazione senza riuscirci.
la mia domanda è questa: come si può dimostrare che questa espressione sia divisibile per 7? (occorre utilizzare i logaritmi ?)
inoltre esiste un criterio di divisibilità per 7?
$2^(3n)-1$ ho notato che per $n>0$ è sempre divisibile per 7.
ho assegnato parecchi valori a n e ho notato che la regola valeva sempre; siccome con i numeri non si dimostra nulla ho cercato un dimostrazione senza riuscirci.
la mia domanda è questa: come si può dimostrare che questa espressione sia divisibile per 7? (occorre utilizzare i logaritmi ?)
inoltre esiste un criterio di divisibilità per 7?
Risposte
diciamo che usando le congruenze diventa banale..
hai che $8^n-=1 mod7$ poichè $8-=1$ mod7 e naturalmente $1^n-=1 mod7$ ovvero 7 divide $1^n-1$ per ogni n.
hai che $8^n-=1 mod7$ poichè $8-=1$ mod7 e naturalmente $1^n-=1 mod7$ ovvero 7 divide $1^n-1$ per ogni n.
scusa cosa sono le congruenze?
grazie!
grazie!
si dice che $a-=b mod c$ (e si legge "a congruo a b modulo c) se c divide (a-b). E quindi se $a-b-=0 mod c".
Se ti interessa approfondire dai un occhiata qui:
http://progettomatematica.dm.unibo.it/C ... 3/pag3.htm
Se ti interessa approfondire dai un occhiata qui:
http://progettomatematica.dm.unibo.it/C ... 3/pag3.htm
grazie mille
"valerio cavolaccio":
inoltre esiste un criterio di divisibilità per 7?
esiste un criterio di divisibilità per 7:
un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7.
come ti hanno detto le congruenze sono un linguaggio alternativo per trattare la divisibilità fra interi.
ah ora ho capito perchè proprio $2^(3n)-1$ e non per esempio $2^(5n)-1$ infatti 8-1=7 e essendo $8=2^3$ si spiega tutto
a proposito si potrebbe usare questa proprietà per trovare un criterio di divisibilità per 7?
a proposito si potrebbe usare questa proprietà per trovare un criterio di divisibilità per 7?
certo.
Prendi un numero qualsiasi..per esempio 35. Questo si può scrivere come 5*1+3*10 giusto? Ora, $10-=3 mod7$, quindi questo numero sarà divisibile per 7 solo se $5*1+3*3$ è divisibile per 7. Ed in effetti, 14 è divisibile per 7, e quindi anche 35. Questo vale per numeri a 2 cifre. Puoi estendere il ragionamento anche a numeri di tre cifre, notando che $10^3-=-1mod7$ e così via.
Prendi un numero qualsiasi..per esempio 35. Questo si può scrivere come 5*1+3*10 giusto? Ora, $10-=3 mod7$, quindi questo numero sarà divisibile per 7 solo se $5*1+3*3$ è divisibile per 7. Ed in effetti, 14 è divisibile per 7, e quindi anche 35. Questo vale per numeri a 2 cifre. Puoi estendere il ragionamento anche a numeri di tre cifre, notando che $10^3-=-1mod7$ e così via.
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