Dimostrare limite in eccesso con definizione
Ciao!
Come da oggetto, devo dimostrare il seguente limite usando la definizione, ma mi perdo proprio nell'ultimo passaggio.
$lim_{x -> + \infty} \frac{1}{\|x-2\|} = 0^+$
La definizione di limite in questo caso è $\forall \epsilon > 0, \exists N > 0 \| \forall x, x < -N, l \leq f(x) < l + \epsilon$
In questo caso specifico, dunque, parto considerando $0 \leq \frac{1}{\|x-2\|} < \epsilon$.
La prima disequazione è automaticamente soddisfatta per ogni $x$ nel dominio della funzione. Mi soffermo sulla seconda che, dopo averla riscritta come $\|x - 2\| > \frac{1}{\epsilon}$, divido nei due casi:
[tex]\begin{cases}
x > 2 \\
x > \frac{1}{\epsilon} + 2
\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}
x < 2 \\
x < 2 - \frac{1}{\epsilon}
\end{cases}[/tex]
Il primo sistema non mi interessa perché riguarda il caso in cui $x$ sia più grande di $2$, ma io sto facendo tendere $x$ a $-\infty$, quindi in direzione opposta.
Ho quindi ottenuto $x < 2 - \frac{1}{\epsilon}$. Se identifico $N = -(2 - \frac{1}{\epsilon})$, ottengo dunque $x < - N$.
Sembra tutto terminato, ma mi devo assicurare che questo $N$ sia positivo, ossia $-2 + \frac{1}{\epsilon} > 0$, ma questo è vero solo se $\epsilon < 1/2$.
Quest'ultimissimo passaggio mi crea un problema, perché sto di fatto dicendo che $epsilon$ non può essere scelto arbitrariamente.
Capisco il problema dal punto di vista grafico, perché la funzione ha un asintoto verticale in $x = 2$ e interseca le ordinate proprio in $1/2$. Quindi il problema sorge quando passo dal primo al secondo quadrante del piano cartesiano.
...
Insomma, i conti sono sicuro che sono corretti. Mi sfugge qualcosa dal punto di vista concettuale.
Potreste aiutarmi, per favore?
Come da oggetto, devo dimostrare il seguente limite usando la definizione, ma mi perdo proprio nell'ultimo passaggio.
$lim_{x -> + \infty} \frac{1}{\|x-2\|} = 0^+$
La definizione di limite in questo caso è $\forall \epsilon > 0, \exists N > 0 \| \forall x, x < -N, l \leq f(x) < l + \epsilon$
In questo caso specifico, dunque, parto considerando $0 \leq \frac{1}{\|x-2\|} < \epsilon$.
La prima disequazione è automaticamente soddisfatta per ogni $x$ nel dominio della funzione. Mi soffermo sulla seconda che, dopo averla riscritta come $\|x - 2\| > \frac{1}{\epsilon}$, divido nei due casi:
[tex]\begin{cases}
x > 2 \\
x > \frac{1}{\epsilon} + 2
\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}
x < 2 \\
x < 2 - \frac{1}{\epsilon}
\end{cases}[/tex]
Il primo sistema non mi interessa perché riguarda il caso in cui $x$ sia più grande di $2$, ma io sto facendo tendere $x$ a $-\infty$, quindi in direzione opposta.
Ho quindi ottenuto $x < 2 - \frac{1}{\epsilon}$. Se identifico $N = -(2 - \frac{1}{\epsilon})$, ottengo dunque $x < - N$.
Sembra tutto terminato, ma mi devo assicurare che questo $N$ sia positivo, ossia $-2 + \frac{1}{\epsilon} > 0$, ma questo è vero solo se $\epsilon < 1/2$.
Quest'ultimissimo passaggio mi crea un problema, perché sto di fatto dicendo che $epsilon$ non può essere scelto arbitrariamente.
Capisco il problema dal punto di vista grafico, perché la funzione ha un asintoto verticale in $x = 2$ e interseca le ordinate proprio in $1/2$. Quindi il problema sorge quando passo dal primo al secondo quadrante del piano cartesiano.
...
Insomma, i conti sono sicuro che sono corretti. Mi sfugge qualcosa dal punto di vista concettuale.
Potreste aiutarmi, per favore?
Risposte
Siccome $x < 0$, togliere il modulo a $1/|x-2| < \epsilon$ significa
$1/(2-x) < \epsilon$
poi
$2-x > 1 / \epsilon$
$x < 2 - 1 / \epsilon$
Quindi
$N = 1 / \epsilon - 2$
arrotondato per eccesso.
Se viene negativo o zero, si prende $N = 1$.
$1/(2-x) < \epsilon$
poi
$2-x > 1 / \epsilon$
$x < 2 - 1 / \epsilon$
Quindi
$N = 1 / \epsilon - 2$
arrotondato per eccesso.
Se viene negativo o zero, si prende $N = 1$.
Non capisco perchè utilizzi la definizione di limite per eccesso per \( x \rightarrow -\infty \) quando nel limite c'è \( x \rightarrow +\infty \), suppongo che sia un errore di trascrizione e che quindi il limite sia
$ lim_(x -> -\infty) \frac 1 \abs(x-2) =0^+$
Quindi in questo caso la definizione è come scrivi cioè:
$ AA\epsilon>0, EE N(\epsilon)>0|AAx<-N(\epsilon), l<=f(x)
Ho evidenziato il fatto che N è funzione di $\epsilon$, cioè fissato $\epsilon$ è fissato anche il valore di N da prendere, in più il valore di $\epsilon$ è sì maggiore di zero, ma deve essere anche arbitrariamente piccolo, e in questo caso specifico minore di $ \frac 1 2 $.
Direi che la condizione ulteriore su $\epsilon$ non è dovuta al fatto che la funzione abbia un asintoto verticale ma è dovuta al fatto che N altrimenti è minore di 0 (quindi -N>0), il che comporta che la condizione applicata alla x è poco restrittiva (infatti deve tendere a $-\infty$) ciò è dovuto all'andamento della funzione inversa $ f^-1(x) $ .
Lo svolgimento mi sembra giusto.
Ciao!
$ lim_(x -> -\infty) \frac 1 \abs(x-2) =0^+$
Quindi in questo caso la definizione è come scrivi cioè:
$ AA\epsilon>0, EE N(\epsilon)>0|AAx<-N(\epsilon), l<=f(x)
Ho evidenziato il fatto che N è funzione di $\epsilon$, cioè fissato $\epsilon$ è fissato anche il valore di N da prendere, in più il valore di $\epsilon$ è sì maggiore di zero, ma deve essere anche arbitrariamente piccolo, e in questo caso specifico minore di $ \frac 1 2 $.
Direi che la condizione ulteriore su $\epsilon$ non è dovuta al fatto che la funzione abbia un asintoto verticale ma è dovuta al fatto che N altrimenti è minore di 0 (quindi -N>0), il che comporta che la condizione applicata alla x è poco restrittiva (infatti deve tendere a $-\infty$) ciò è dovuto all'andamento della funzione inversa $ f^-1(x) $ .
Lo svolgimento mi sembra giusto.
Ciao!
Scusa, ma basta osservare che:
$1/|x-2| < epsilon \ <=>\ |x-2|>1/epsilon $
e che, tendendo $x$ a $+oo$, possiamo supporre $x>2$ cosicché il valore assoluto al primo membro è inutile e la disequazione dà:
$x > 2 + 1/epsilon$
che individua l'intorno di $+oo$ che serve a soddisfare la definizione di limite.
$1/|x-2| < epsilon \ <=>\ |x-2|>1/epsilon $
e che, tendendo $x$ a $+oo$, possiamo supporre $x>2$ cosicché il valore assoluto al primo membro è inutile e la disequazione dà:
$x > 2 + 1/epsilon$
che individua l'intorno di $+oo$ che serve a soddisfare la definizione di limite.
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