Dimostrare la Superficie di una sfera senza Integrali
Salve a tutti come da titolo sto provando a trovare una possibile via per dimostrare la superficie di una sfera senza l'uso degli integrali. Può esser una cosa stupida, ma mi interessa molto, perché non credo non si sapesse prima dell'avvento degli integrali calcolare la superficie ed il volume della sfera. A quanto sapevo già i greci sapevano il valore della superficie e così mi son chiesto come avessero fatto.
Inizialmente son partito da considerare la sfera costituita di n piramidi rette, le cui basi quadrate andavano a costituire la superficie della sfera, ma ben presto ho realizzato che non avevo modo di ricavare l angolo di tale piramide, o meglio come l'avevo ricavato non era propriamente corretto. Così ho ipotizzato di prender nella sfera una circonferenza massima e ti ricavarne un arco infinitesimale, così piccolo da essere retto e non curvo. Da Tale arco di valore 2πr/n mi costruivo un quadrato il cui lato era l arco stesso. Mi son ricavato l area di questo quadrato ( 4π^2r^2/n^2) e da qui ho moltiplicato per n, essendo la superficie di questa circonferenza massima composta da n quadrati infinitesimali come quelli. Ed infine ho moltiplicato nuovamente per n, essendo la sfera originata da n circonferenze massime, ma il risultato ottenuto é 4π^2r^2.
Non so dove sbaglio o se come ragionamento possa esser corretto. Spero che qualcuno possa aiutarmi .
P.S. Quando ho citato negli ultimi due casi la parola " circonferenza massima" intendevo dire diciamo la superficie di un anello.
Grazie mille in anticipo
Inizialmente son partito da considerare la sfera costituita di n piramidi rette, le cui basi quadrate andavano a costituire la superficie della sfera, ma ben presto ho realizzato che non avevo modo di ricavare l angolo di tale piramide, o meglio come l'avevo ricavato non era propriamente corretto. Così ho ipotizzato di prender nella sfera una circonferenza massima e ti ricavarne un arco infinitesimale, così piccolo da essere retto e non curvo. Da Tale arco di valore 2πr/n mi costruivo un quadrato il cui lato era l arco stesso. Mi son ricavato l area di questo quadrato ( 4π^2r^2/n^2) e da qui ho moltiplicato per n, essendo la superficie di questa circonferenza massima composta da n quadrati infinitesimali come quelli. Ed infine ho moltiplicato nuovamente per n, essendo la sfera originata da n circonferenze massime, ma il risultato ottenuto é 4π^2r^2.
Non so dove sbaglio o se come ragionamento possa esser corretto. Spero che qualcuno possa aiutarmi .
P.S. Quando ho citato negli ultimi due casi la parola " circonferenza massima" intendevo dire diciamo la superficie di un anello.
Grazie mille in anticipo
Risposte
Il calcolo del volume della sfera (da cui se ne ricava la superficie) era già stato fatto da Archimede, senza integrali; si dice che ne sia stato così fiero da volere che sulla sua tomba venisse incisa la relativa figura, al posto del nome del defunto. La dimostrazione utilizza quella che in seguito è stata chiamata scodella di Galileo e figura su quasi tutti i testi di geometria solida; puoi anche guardare qui, dove si parla anche di come passare dal volume ala superficie.
Beh, provare "sperimentalmente" che il volume della sfera è i $2/3$ del volume del cilindro circoscritto ci vuole un attimo; basta versare l'acqua contenuta in una scodella (mezza sfera) in un secchio (cilindrico).
Provarlo analiticamente è un altro paio di maniche
A parte le battute, riflettendoci un attimo, la difficoltà di provarlo è ovvia, quello che è meno ovvio invece è il perché della scelta di un problema piuttosto che un altro; per esempio, detto in altro modo, "perché il cilindro e non il cubo?"
Penso che talvolta le soluzioni geniali siano tali, non per la soluzione ma per il problema, o no?
Scusate le farneticazioni, fate come non detto ... (niente paura, non mi trasformerò in lisdap ...
)
Cordialmente, Alex
Provarlo analiticamente è un altro paio di maniche
A parte le battute, riflettendoci un attimo, la difficoltà di provarlo è ovvia, quello che è meno ovvio invece è il perché della scelta di un problema piuttosto che un altro; per esempio, detto in altro modo, "perché il cilindro e non il cubo?"
Penso che talvolta le soluzioni geniali siano tali, non per la soluzione ma per il problema, o no?
Scusate le farneticazioni, fate come non detto ... (niente paura, non mi trasformerò in lisdap ...
)Cordialmente, Alex
Beh a dire il vero la dimostrazione della scodella è la prima volta che la sento dire, se non citata alcune volte mentre cercavo una soluzione per la mia questione, ma mai in un libro di matematica. Tuttavia volevo sapere se il ragionamento da me formulato potesse esser in qualche modo corretto e diciamo essere alla base di un possibile differente modo modo di dimostrare la superficie sferica!
Con la prima moltiplicazione per $n$ hai ottenuto l'area di una strisciolina appoggiata sul cerchio massimo e fin qui la dimostrazione può essere considerata giusta. Per coprire la superficie della sfera devi ora applicare altre striscioline parallele alla precedente e queste sono via via più corte allontanandoci da quel cerchio massimo: è quindi sbagliata la seconda moltiplicazione per $n$.
Il tuo calcolo suppone che tutte le striscioline abbiano la stessa lunghezza e questo succede se hai non una sfera ma un cilindro di altezza pari alla circonferenza massima della sfera, e infatti la sua superficie laterale è
$S_l="perimetro base*altezza"=2pir*2pir=4pi^2r^2$
Per quanto riguarda la scodella di Galileo, mi stupisce che il tuo libro non la riporti: è davvero un testo di geometria solida?
Il tuo calcolo suppone che tutte le striscioline abbiano la stessa lunghezza e questo succede se hai non una sfera ma un cilindro di altezza pari alla circonferenza massima della sfera, e infatti la sua superficie laterale è
$S_l="perimetro base*altezza"=2pir*2pir=4pi^2r^2$
Per quanto riguarda la scodella di Galileo, mi stupisce che il tuo libro non la riporti: è davvero un testo di geometria solida?
Come detto da te la prima moltiplicazione per n era per ottenere una strisciolina, ma pensavo che per ottenere la superficie della sfera potessi nuovamente moltiplicare per n di nuovo, cioè il ho ottenuto una striscia a partire da una delle infinite circonferenze massime, ma queste son infinite e quindi moltiplicano per n ancora. Consideravo infatti la sfera come originata da infinite circonferenze massime in posizione ruotata l una rispetto ad uno stesso asse e non come costituita da n circonferenze che erano da piccole piccole sempre più grandi per diventare circonferenze massime e poi diminuire di nuovo .
Il mio libro comunque ho controllato ma non lo riporta, per dimostrare la superficie parte dal volume dicendo che è uguale all'anticlessidra e da lì dimostra l'area con un procedimento inverso al mio . Mentre io per trovarmi il volume scomponevo la sfera in n piramidi rette e facevo il volume di ognuna, ricavandomi così 4/3 pi r^3, il libro invece a partire dal volume si ricava l'area.
Il mio libro comunque ho controllato ma non lo riporta, per dimostrare la superficie parte dal volume dicendo che è uguale all'anticlessidra e da lì dimostra l'area con un procedimento inverso al mio . Mentre io per trovarmi il volume scomponevo la sfera in n piramidi rette e facevo il volume di ognuna, ricavandomi così 4/3 pi r^3, il libro invece a partire dal volume si ricava l'area.
Credo che il tuo libro chiami "anticlessidra" quello che altri chiamano "due scodelle di Galileo"; il ragionamento non cambia e si ricava la superficie proprio a partire dal volume, come dici.
Il tuo ragionamento sulle striscioline ruotate trascurava il fatto che esse si sovrappongono parzialmente e quindi buona parte della superficie della sfera è coperta da almeno due striscioline.
Il tuo ragionamento sulle striscioline ruotate trascurava il fatto che esse si sovrappongono parzialmente e quindi buona parte della superficie della sfera è coperta da almeno due striscioline.
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