dimostrare che un certo polinomio è sempre positivo
salve, all'interno di uno studio di funzione ho ricavato la derivata seconda:
$D^2[f(x)]=e^x\dfrac{x^4-4x^3-2x^2+16x+24}{(x^2-4)^3}$
e dovrei dimostrare che il polinomio a numeratore $x^4-4x^3-2x^2+16x+24$
è sempre positivo.
Ho provato a minorare con quantità positive scomponibili con Ruffini
ma non sono riuscito.
Avete qualche suggerimento ? Grazie.
$D^2[f(x)]=e^x\dfrac{x^4-4x^3-2x^2+16x+24}{(x^2-4)^3}$
e dovrei dimostrare che il polinomio a numeratore $x^4-4x^3-2x^2+16x+24$
è sempre positivo.
Ho provato a minorare con quantità positive scomponibili con Ruffini
ma non sono riuscito.
Avete qualche suggerimento ? Grazie.
Risposte
Ciao @vanpic
Un buon modo potrebbe essere quello di calcolare i punti stazionari e verificare che in tali punti il polinomio in questione è sempre positivo. A maggior ragione se lo è nei potenziali minimi, lo sarà dappertutto!
La derivata è 4x^3-12x^2-4x+16=0 ->x^3-3x^2-x+4=0
In che contesto hai trovato l'esercizio? Trovare esplicitamente i punti stazionari potrebbe essere ostico / impossibile analiticamente... sono abbastanza certo che sia necessario usare una calcolatrice grafica nel tuo caso.
Un buon modo potrebbe essere quello di calcolare i punti stazionari e verificare che in tali punti il polinomio in questione è sempre positivo. A maggior ragione se lo è nei potenziali minimi, lo sarà dappertutto!
La derivata è 4x^3-12x^2-4x+16=0 ->x^3-3x^2-x+4=0
In che contesto hai trovato l'esercizio? Trovare esplicitamente i punti stazionari potrebbe essere ostico / impossibile analiticamente... sono abbastanza certo che sia necessario usare una calcolatrice grafica nel tuo caso.
Chiaramente è sempre possibile tramite un tool online ottenere il grafico della funzione o anche farsi fare direttamente lo studio del segno e quindi "vincere facile".
Però se non si vuole "truccare" e se il polinomio, come in questo caso, non sembra semplice da trattare si può utilizzare il teorema di Sturm.
https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%27s_theorem
Tramite il teorema si può dimostrare che il polinomio in questione non ha radici reali e, trattandosi di una funzione continua, a questo punto può essere solo o sempre positivo oppure sempre negativo.
Ma poiché per x=0 risulta P(0)=24 , ne consegue che può solo essere sempre positivo.
Però se non si vuole "truccare" e se il polinomio, come in questo caso, non sembra semplice da trattare si può utilizzare il teorema di Sturm.
https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%27s_theorem
Tramite il teorema si può dimostrare che il polinomio in questione non ha radici reali e, trattandosi di una funzione continua, a questo punto può essere solo o sempre positivo oppure sempre negativo.
Ma poiché per x=0 risulta P(0)=24 , ne consegue che può solo essere sempre positivo.
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