Dimostrare che $n^(1/n)$ è sempre irrazionale
Ciao a tutti vorrei capire se si può dimostrare che [tex]\sqrt[n]{n}[/tex] è sempre irrazionale. Grazie, io non so neanche da dove cominciare.
Risposte
Queste cose si dimostrano spesso per assurdo. Supponi per assurdo che $n^{1/n}$ sia razionale, ovvero che esista una frazione ridotta ai minimi termini $p/q$ tale che
$n^{1/n}=p/q$.
Questo significa che $n=(p^n)/(q^n)$. Maneggia un po' questa roba e vedi se ritrovi una contraddizione.
$n^{1/n}=p/q$.
Questo significa che $n=(p^n)/(q^n)$. Maneggia un po' questa roba e vedi se ritrovi una contraddizione.
Come per la dimostrazione irrazionale di [tex]\sqrt{2}[/tex] giusto?
Giusto.
Allora, provo a scrivere la mia dimostrazione.
Distinguiamo i casi per n pari ed n dispari
dato che [tex]\sqrt[n]{n}=\frac{p}{q};[/tex] eleviamo a potenza n e otteniamo [tex]n=(\frac{p}{q})^n[/tex] per n pari [tex]p^n=q^n*n[/tex] siccome un qualsiasi numero elevato potenza pari è sempre pari, q^n sarà pari insieme a p^n quindi andiamo in contraddizione con l'ipotesi dicendo che [tex]\frac{p}{q}[/tex] è irriducibile, se fossero stati tutti e due pari li avrei potuti semplificare, in modo analogo si può dimostrare la stessa cosa per n dispari. È giusta???
Distinguiamo i casi per n pari ed n dispari
dato che [tex]\sqrt[n]{n}=\frac{p}{q};[/tex] eleviamo a potenza n e otteniamo [tex]n=(\frac{p}{q})^n[/tex] per n pari [tex]p^n=q^n*n[/tex] siccome un qualsiasi numero elevato potenza pari è sempre pari, q^n sarà pari insieme a p^n quindi andiamo in contraddizione con l'ipotesi dicendo che [tex]\frac{p}{q}[/tex] è irriducibile, se fossero stati tutti e due pari li avrei potuti semplificare, in modo analogo si può dimostrare la stessa cosa per n dispari. È giusta???
Mica vero che un qualunque numero elevato a potenza pari è sempre pari. Ad esempio $3^2 =9$, oppure $3^4 = 81$; $5^2 = 25$ ecc.
si si me ne sono accorto solo ora , la rielaborerò
Ma in [tex]n^{\frac{1}{n}}[/tex] n è naturale?
Ciao scusa ma non ho capito che cosa vuoi dire.
Noi dobbiamo dimostrare che [tex]n^{\frac{1}{n}}[/tex] è irrazionale con n numero naturale. Neghiamo la tesi [tex]=>[/tex] [tex]n^{\frac{1}{n}}=\frac{p}{q}[/tex], con p e q primi tra loro e quindi non semplificabili, [tex]n=\frac{p^n}{q^n}[/tex], ma poichè p e q sono irriducibili ne viene fuori che n è un numero razionale, scrivibile cioè come frazione non semplificabile, quindi contraddiciamo l'ipotesi secondo cui n è naturale. Aspetto la segnalazione di errori da chi ne sa più di me.
@giannirecanati: ma potremmo anche avere che $q=1$, quindi $n$ potrebbe continuare ad essere naturale.
Comunque non sono d'accordo che $n^(1/n)$ è sempre irrazionale. C'è un caso semplicissimo che nega la tesi
Comunque non sono d'accordo che $n^(1/n)$ è sempre irrazionale. C'è un caso semplicissimo che nega la tesi
Ti riferisci ad 1 
?
?
Si a me sembra corretta
Anche se q può essere uguale ad 1, vuol dire che n è scrivibile come potenza [tex]p^n[/tex] dove p è anch'esso naturale, e non so' in quale caso può avvenire questa coincidenza e se avviene realmente, es n=49, qual è quel numero naturale che elevato alla 49 mi dà 49?
@nicolaflute: ti riferisci alla correzione di Gi8?
@nicolaflute: ti riferisci alla correzione di Gi8?
No mi riferisco alla tua dimostrazione, quella che usava i numeri naturali.
Ma comunque ora che ci penso, c'è il caso per n=1 che nega fortemente la tesi quindi concluderei che [tex]\sqrt[n]{n}[/tex] non è sempre irrazionale. No?
Lo dobbiamo dimostrare a partire da [tex]n\geq2[/tex]
"giannirecanati":Esatto
Ti riferisci ad 1
Posto, come dice nicolaflute, che $n in NN$ e $n>=2$, allora penso che ciò che ha scritto giannirecanati vada bene:
"giannirecanati":A cui va aggiunto
Noi dobbiamo dimostrare che [tex]n^{\frac{1}{n}}[/tex] è irrazionale con n numero naturale. Neghiamo la tesi [tex]=>[/tex] [tex]n^{\frac{1}{n}}=\frac{p}{q}[/tex], con p e q primi tra loro e quindi non semplificabili, [tex]n=\frac{p^n}{q^n}[/tex], ma poichè p e q sono irriducibili ne viene fuori che n è un numero razionale, scrivibile cioè come frazione non semplificabile, quindi contraddiciamo l'ipotesi secondo cui n è naturale.
"giannirecanati":
Anche se q può essere uguale ad 1, vuol dire che n è scrivibile come potenza [tex]p^n[/tex] dove p è anch'esso naturale, e non so' in quale caso può avvenire questa coincidenza e se avviene realmente, es n=49, qual è quel numero naturale che elevato alla 49 mi dà 49?
Secondo me non va bene l.'ultimo punto quello dove si dice che non sappiamo quale numero elevato 49 mi dia 49, purtroppo seconod me non possiamo dire questo perchè non stiamo dimostrando logicamente, stiamo dicendo«guarda che si vede» e questo secondo me non va bene.
Per quanto ne sappia nessun numero [tex]n[/tex] naturale può essere scritto come potenza di un numero naturale [tex]p^n[/tex], Se si considera il numero naturale più piccolo che si può prendere in considerazione per questo genere di operazioni 2, dà comunque numeri maggiori rispetto ad n, o mi sbaglio?, es [tex]2^{49}[/tex] è di molto maggiore di 49, e credo che la cosa valga per tutti gli [tex]n[/tex], anche se non saprei come dimostrarlo. Nonostante questo credo che anche il secondo punto sia giusto.
"nicolaflute":Sono d'accordo. La dimostrazione mi sembra però abbastanza semplice.
Secondo me non va bene l'ultimo punto quello dove si dice che non sappiamo quale numero elevato 49 mi dia 49, purtroppo seconod me non possiamo dire questo perchè non stiamo dimostrando logicamente, stiamo dicendo«guarda che si vede» e questo secondo me non va bene.
Si tratta di dimostrare questo:
Sia $p$ intero positivo. Allora $AA n in NN$, con $n>=2$, si ha che $p^n!=n$
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