Dimostrare che $n^(1/n)$ è sempre irrazionale
Ciao a tutti vorrei capire se si può dimostrare che [tex]\sqrt[n]{n}[/tex] è sempre irrazionale. Grazie, io non so neanche da dove cominciare.
Risposte
Forse ci sono. Mi basta sfruttare la disuguaglianza [tex]p^n\ge \ 2^n \ge \ n[/tex].
Anzitutto dimostro che [tex]2^n\ge\ {n}[/tex] con l'induzione. Passo base: [tex]2^0\ge\ {0}=1\ge\ {0}[/tex], pongo per ipotesi che sia vero per n e dimostriamo che ciò è vero per [tex]n+1[/tex]. [tex]2^{n+1}\ge\ {n+1}[/tex], [tex]2^n+2^n\ge\ {n+1}[/tex] e per ipotesi sapevamo che [tex]2^n\ge\ {n}[/tex].
Tuttavia adesso devo dimostrare per induzione che [tex]2^n\ge\ {1}[/tex], essa è vera per 0 infatti [tex]1\ge\ {1}[/tex], diamo per ipotesi che essa sia vera per n e lo dimostro per [tex]n+1[/tex] [tex]=>[/tex][tex]2^n\cdot{2}\ge\ {1}[/tex], ma poichè sapevamo [tex]2^n\ge\ {1}[/tex] allora [tex]2^n\ge \ {\frac{1}{2}}[/tex], per cui la tesi è dimostrata.
Ritornando alla tesi precedente, avevamo per ipotesi che [tex]2^n\ge\ {n}[/tex], abbiamo dimostrato che [tex]2^n\ge\ {1}[/tex]
sfruttando la legge di monotonia per le disuguaglianze otteniamo la tesi.
Il gioco funziona, ovviamente, soltanto se [tex]p\ge\ 2[/tex].
Adesso dovrebbe essere completa
.
Anzitutto dimostro che [tex]2^n\ge\ {n}[/tex] con l'induzione. Passo base: [tex]2^0\ge\ {0}=1\ge\ {0}[/tex], pongo per ipotesi che sia vero per n e dimostriamo che ciò è vero per [tex]n+1[/tex]. [tex]2^{n+1}\ge\ {n+1}[/tex], [tex]2^n+2^n\ge\ {n+1}[/tex] e per ipotesi sapevamo che [tex]2^n\ge\ {n}[/tex].
Tuttavia adesso devo dimostrare per induzione che [tex]2^n\ge\ {1}[/tex], essa è vera per 0 infatti [tex]1\ge\ {1}[/tex], diamo per ipotesi che essa sia vera per n e lo dimostro per [tex]n+1[/tex] [tex]=>[/tex][tex]2^n\cdot{2}\ge\ {1}[/tex], ma poichè sapevamo [tex]2^n\ge\ {1}[/tex] allora [tex]2^n\ge \ {\frac{1}{2}}[/tex], per cui la tesi è dimostrata.
Ritornando alla tesi precedente, avevamo per ipotesi che [tex]2^n\ge\ {n}[/tex], abbiamo dimostrato che [tex]2^n\ge\ {1}[/tex]
sfruttando la legge di monotonia per le disuguaglianze otteniamo la tesi.
Il gioco funziona, ovviamente, soltanto se [tex]p\ge\ 2[/tex].
Adesso dovrebbe essere completa
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Se decidiamo di non fare troppo i pignoli, può andare così anche perchè lunico numero che elevato n da a è per definizione [tex]\sqrt[n]{a}[/tex] right?
Yes 
.
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Piuttosto che notazione è e come si legge [tex]a\geq p \geq b[/tex]??
Sei in seconda superiore?
Comunque quella è una disuguaglianza e si legge da sinistra verso destra normalmente. a maggiore o uguale a p maggiore o uguale a b.
Comunque quella è una disuguaglianza e si legge da sinistra verso destra normalmente. a maggiore o uguale a p maggiore o uguale a b.
Sai che sono in seconda leggendo i miei post?
L'ho immaginato, le equazioni parametriche, i radicali, le equazioni di secondo grado e di grado maggiore al secondo, si fanno solitamente in seconda, ecco il perchè.
Ah ok, no perchè l'avevo scritto in un post intendo che sono in seconda, e tu sei laureato?
Perchè ti sembro un laureato 
?
Sono soltanto qualche anno più vecchio di te.
? Sono soltanto qualche anno più vecchio di te.
Tipo di maturità?
Precisamente frequento il quarto liceo scientifico.
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