Difficoltà con un semplice esercizio (metodo dell'angolo aggiunto)
Se provo a risolvere $sqrt(2)*cosx-sqrt(2)*senx=1$ con il metodo dell'angolo aggiunto (volevo risolverlo così) non riesco a far quadrare il tutto con le effettive soluzioni dell'equazione.
Ebbene se impongo $tgalfa=B/A$ --> alfa=$-pi/4+kpi$
$R=sqrt(A^2+B^2)=sqrt4=2$
E giungo a scrivere l'equazione nel modo equivalente:
$2*sen(x-pi/4)=1$
Ma risolvere questa equazione mi porta alle soluzioni x= 5/12pi+2kpi e x=13/12pi+ 2kpi
Il testo segnala invece come soluzioni x=pi/12 +2kpi e x=17/12pi + 2kpi.
Ho provato più volte ma non riesco a far quadrare il tutto.
Ebbene se impongo $tgalfa=B/A$ --> alfa=$-pi/4+kpi$
$R=sqrt(A^2+B^2)=sqrt4=2$
E giungo a scrivere l'equazione nel modo equivalente:
$2*sen(x-pi/4)=1$
Ma risolvere questa equazione mi porta alle soluzioni x= 5/12pi+2kpi e x=13/12pi+ 2kpi
Il testo segnala invece come soluzioni x=pi/12 +2kpi e x=17/12pi + 2kpi.
Ho provato più volte ma non riesco a far quadrare il tutto.
Risposte
$sqrt2 cos x -sqrt2 sin x=1$ diventa, prima di tutto, $sqrt2 sin x -sqrt2 cos x= -1$, dopo puoi applicare i vari ragionamenti, anche se io andrei subito al sodo:
$sqrt2/2 sin x -sqrt2/2 cos x= -1/2$ che diventa $sin(x-pi/4)=-1/2$ da qui dovresti ottenere le soluzioni corrette.
$sqrt2/2 sin x -sqrt2/2 cos x= -1/2$ che diventa $sin(x-pi/4)=-1/2$ da qui dovresti ottenere le soluzioni corrette.
Ma infatti se hai una equazione del tipo \[A\sin x+B\cos x = C\] devi imporre
\[\begin{cases}
\cos\psi=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \\
\sin\psi=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\end{cases}\]
per arrivare alla forma \[\sqrt{A^2+B^2}\sin(x+\psi)=C.\]
Usare $\tan$ è una scorciatoia che non sempre funziona. Perché? Prova a riflettere sui periodi...
\[\begin{cases}
\cos\psi=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \\
\sin\psi=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\end{cases}\]
per arrivare alla forma \[\sqrt{A^2+B^2}\sin(x+\psi)=C.\]
Usare $\tan$ è una scorciatoia che non sempre funziona. Perché? Prova a riflettere sui periodi...
Grazie a tutti.
Comunque per quel fatto legato alla tangente non ho compreso dove sia il limite per cui in questo esercizio non è utile la "scorciatoia".
Poi chiederei un consiglio: se ho l'angolo di 5pi/6 come trovo l'altro angolo soluzione della stessa funzione seno? Sarebbe buono un metodo "sistematico", ossia più semplice.
Questo perché in molti casi trovo facile la confusione in ciò (Specialmente se per trovare quel 13pi/6 devo ragionare sulla figura: pi-5pi/6= pi/6, adesso tracciando la retta che identifica la funzione seno passante per 5pi/6 e per quel tanto cercato risultato capisco che devo aggiungere a 2pi pi/6).
Comunque per quel fatto legato alla tangente non ho compreso dove sia il limite per cui in questo esercizio non è utile la "scorciatoia".
Poi chiederei un consiglio: se ho l'angolo di 5pi/6 come trovo l'altro angolo soluzione della stessa funzione seno? Sarebbe buono un metodo "sistematico", ossia più semplice.
Questo perché in molti casi trovo facile la confusione in ciò (Specialmente se per trovare quel 13pi/6 devo ragionare sulla figura: pi-5pi/6= pi/6, adesso tracciando la retta che identifica la funzione seno passante per 5pi/6 e per quel tanto cercato risultato capisco che devo aggiungere a 2pi pi/6).
Nell'esercizio il seno ha segno negativo.
Prima di applicare le trasformazioni conviene sistemare il segno del seno, altrimenti risulterà
$ 2*sin(pi/4-x)=1 $ con tutte le modifiche del caso da attuare successivamente.
È più semplice cambiare segno prima, il seno avrà segno positivo e non dovrai modificare alcunché, però otterrai
$ 2*sin(x-pi/4)= -1 $
Prima di applicare le trasformazioni conviene sistemare il segno del seno, altrimenti risulterà
$ 2*sin(pi/4-x)=1 $ con tutte le modifiche del caso da attuare successivamente.
È più semplice cambiare segno prima, il seno avrà segno positivo e non dovrai modificare alcunché, però otterrai
$ 2*sin(x-pi/4)= -1 $
"mathos2000":
Comunque per quel fatto legato alla tangente non ho compreso dove sia il limite per cui in questo esercizio non è utile la "scorciatoia".
Come vedi puoi incorrere facilmente in errori... Come ti ho suggerito, il tutto sta nei periodi: $\tan$ ha periodo $\pi$, mentre $\sin$ e $\cos$ hanno periodo $2\pi$. Tu da\[\tan\psi=\frac{B}{A}\] arrivi ad una cosa del tipo \[\psi=\text{qualcosa}+k\pi.\] E con $\tan$ puoi trascurare il termine $k\pi$. Ma con le altre due funzioni no:\[\sin(\alpha+k\pi)=\begin{cases} -\sin\alpha & \Leftrightarrow k \text{ dispari} \\ \sin\alpha & \Leftrightarrow k \text{ pari} \end{cases}\] e similmente per $\cos$. E nel tuo caso si parla di seni e coseni. Quindi per $\psi$ quale angolo dovrò prendere? Vedi che è un po' complessa la cosa?
"@melia":
Nell'esercizio il seno ha segno negativo.
Prima di applicare le trasformazioni conviene sistemare il segno del seno, altrimenti risulterà
$ 2*sin(pi/4-x)=1 $ con tutte le modifiche del caso da attuare successivamente.
È più semplice cambiare segno prima, il seno avrà segno positivo e non dovrai modificare alcunché, però otterrai
$ 2*sin(x-pi/4)= -1 $
Oppure puoi fare come ti ho detto io e non ti dovrai curare di cambiare segni o altre cose...
Qualunque via scegli va bene. Percorri quella in cui ti trovi di più.
Oppure puoi fare in un modo che si appella alla tua arguazia e ingegno.\[\sqrt{2}\cos x-\sqrt{2}\sin x=1\]Dividendo entrambi i membri per $2$ e ricordandoti che $\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}$ hai, usando le formule di addizione e sottrazione,\[\sin\Big(\frac{\pi}{4}-x\Big)=\frac{1}{2}.\]
A te i calcoli e i passi intemedi...
Di solito quando hai $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}$ in giro puoi procedere così...
A te i calcoli e i passi intemedi...
Di solito quando hai $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}$ in giro puoi procedere così...
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