Difficoltà con limite
Ho questo limite: $lim_(x->0)((2sin(x/2)-sinx)/(x^3))$. Faccio una sostituzione $x/2=t$ $->$ $x=2t$
Ora sostituisco: $lim_(t->0)((2sint-sin2t)/(8t^3))$ e procedo così: $lim_(t->0)((2sint)/(8t^3)-(sin2t)/(8t^3))$
Lo riscrivo così: $lim_(t->0)(1/(4t^2)*sint/t-1/(4t^2)*(sin2t)/(2t))$
Ora ottengo: $lim_(t->0)(1/(4t^2)-1/(4t^2))=0$
Il risultto giusto è però $1/8$.
Potreste aiutarmi a capire dove ho sbagliato?
Ora sostituisco: $lim_(t->0)((2sint-sin2t)/(8t^3))$ e procedo così: $lim_(t->0)((2sint)/(8t^3)-(sin2t)/(8t^3))$
Lo riscrivo così: $lim_(t->0)(1/(4t^2)*sint/t-1/(4t^2)*(sin2t)/(2t))$
Ora ottengo: $lim_(t->0)(1/(4t^2)-1/(4t^2))=0$
Il risultto giusto è però $1/8$.
Potreste aiutarmi a capire dove ho sbagliato?
Risposte
$sen(x)=2*sen(x/2)*cos(x/2)$, quindi raccogli $sen(x/2)$ al numeratore.
Ma semmai sarà $sen(2x)=2*sen(x/2)*cos(x/2)$, quindi raccogli $sen(x/2)$.
Ma il mio metodo con la sostituzione non va bene?
Ma il mio metodo con la sostituzione non va bene?
Eh no e. $sen(2x)=2*sen(x/2)*cos(x/2)$ non si dice. La sostituzione era corretta ma poi hai fatto un mezzo pasticcio. Semmai dovevi sempre scrivere $sen(2t)=2sen(t)cos(t)$>
$sen(2t)=2sen(t)cos(t)$ OK.
Dove c'è stata l'incoerenza? Perchè poi ho lavorato sempre con $t$, non sono più tornato alla $x$.
Dove c'è stata l'incoerenza? Perchè poi ho lavorato sempre con $t$, non sono più tornato alla $x$.
Ah ecco, non capivo, ti stavi riferendo a quando ho sostituito. Ma comunque se chiamo $x/2=t$ poi posso usare la $x$ come $2t$
Dire che $(sen(t))/t$ è equivalente a 1 sarebbe legale se si trattasse di un prodotto. Giacché hai una somma non lo puoi fare. Scrivi $sen(2t)$ come $2sen(t)cos(t)$ e poi raccogli $sen(t)$ al numeratore.
Ma in $sint/t$ ho un prodotto di fatto perchè è $sint/t*1/(4t^2)-(sin2t)/(2t)*1/(4t^2)$ e i pezzettini $sint/t$ e $(sin2t)/(2t)$ tendono a $1$ o no?
Col tuo metodo funziona, solo che in casi del genere non sò se è giusto applicare le formule goniometriche o i limiti notevoli.
Col tuo metodo funziona, solo che in casi del genere non sò se è giusto applicare le formule goniometriche o i limiti notevoli.
Bisogna applicare entrambi e invece applicare con molta prudenza le equivalenze.
Beh qui non ho pensato alle equivalenze, ho pensato solo al limite $lim_(x->0)(sinx/x)$, ma dove ho sbagliato nell'applicarlo?
Il principio è sbagliato. L'algebra dei limiti ti garantisce delle "cose" ma ci sono delle ipotesi che vanno rispettate. Non saprei come dirtelo altrimenti.
Va bene, solo che il mio libro presenta i limiti notevoli ma non dice sotto che condizioni poterli applicare o no.
Potresti darmi una mano con questo?
$lim_(x->+infty)((2+cosx)/(2x+sinx))$
Ho pensato di farlo col confronto pensando di scriverlo coì: $(-1)/(2x+sinx)<=(2+cosx)/(2x+sinx)<=(1)/(2x+sinx)$
Qui sorge il problema: come faccio a calcolare i limiti per infinito col seno?
Potresti darmi una mano con questo?
$lim_(x->+infty)((2+cosx)/(2x+sinx))$
Ho pensato di farlo col confronto pensando di scriverlo coì: $(-1)/(2x+sinx)<=(2+cosx)/(2x+sinx)<=(1)/(2x+sinx)$
Qui sorge il problema: come faccio a calcolare i limiti per infinito col seno?
Ok. Questo è più difficile.
Occhio e croce bisogna accorgersi anzitutto che il risultato di quel limite è $0$. Faccio quest'assunzione con beneficio di inventario (l'affermazione deriva dal fatto che a numeratore ho una quantità positiva, a denominatore un infinito sommato ad una funzione limitata).
Prima di tutto dimostro che
$lim_(x->+infty)(sen(x)+2x)=+infty$
Che è di facile dimostrazione dato che:
$sen(x)+2x>=2x-1$ comunque sia x. Quindi, per il teorema del confronto, dato che $2x-1$ tende a $+infty$ per $x->+infty$ anche la funzione $sen(x)+2x$ tende a $+infty$ comunque sia x sufficientemente grande.
Di conseguenza la funzione reciproca $1/(2x+sen(x))$ tenderà a zero.
Fatto ciò applico nuovamente il teorema del confronto per la funzione iniziale $f(x)=(2+cos(x))/(2x+sen(x))$. Confronto con
$g(x)=3/(2x+sen(x))$. $g(x)->0$ per $x->+infty$ per quanto detto sopra.
$-3/(2x+sen(x))<=f(x)<=3/(2x+sen(x))$
cioè
$|f(x)|<=3/(2x+sen(x))$
$|(2+cos(x))/(2x+sen(x))|<=3/(2x+sen(x))$
da cui
$|2+cos(x)|<=3*|2x+sen(x)|/(2x+sen(x))$
$|2+cos(x)|<=3*segno(2x+sen(x))$
il segno della funzione $2x+sen(x)$ è positivo (vale +1) per $x->+infty$ sempre per le considerazioni fatte sopra.
alla fine si resta con la disequazione:
$|2+cos(x)|<=3$ che è solo:
$-1<=cos(x)<=1$ (identità).
Quindi il limite iniziale vale proprio zero.
Occhio e croce bisogna accorgersi anzitutto che il risultato di quel limite è $0$. Faccio quest'assunzione con beneficio di inventario (l'affermazione deriva dal fatto che a numeratore ho una quantità positiva, a denominatore un infinito sommato ad una funzione limitata).
Prima di tutto dimostro che
$lim_(x->+infty)(sen(x)+2x)=+infty$
Che è di facile dimostrazione dato che:
$sen(x)+2x>=2x-1$ comunque sia x. Quindi, per il teorema del confronto, dato che $2x-1$ tende a $+infty$ per $x->+infty$ anche la funzione $sen(x)+2x$ tende a $+infty$ comunque sia x sufficientemente grande.
Di conseguenza la funzione reciproca $1/(2x+sen(x))$ tenderà a zero.
Fatto ciò applico nuovamente il teorema del confronto per la funzione iniziale $f(x)=(2+cos(x))/(2x+sen(x))$. Confronto con
$g(x)=3/(2x+sen(x))$. $g(x)->0$ per $x->+infty$ per quanto detto sopra.
$-3/(2x+sen(x))<=f(x)<=3/(2x+sen(x))$
cioè
$|f(x)|<=3/(2x+sen(x))$
$|(2+cos(x))/(2x+sen(x))|<=3/(2x+sen(x))$
da cui
$|2+cos(x)|<=3*|2x+sen(x)|/(2x+sen(x))$
$|2+cos(x)|<=3*segno(2x+sen(x))$
il segno della funzione $2x+sen(x)$ è positivo (vale +1) per $x->+infty$ sempre per le considerazioni fatte sopra.
alla fine si resta con la disequazione:
$|2+cos(x)|<=3$ che è solo:
$-1<=cos(x)<=1$ (identità).
Quindi il limite iniziale vale proprio zero.
Ah ok, in pratica bisognava applicare il teorema del confronto due volte.
Questa relazione $sinx+2x>=2x-1$ l'hai presa da $abs(sinx)<=1$ ? Come hai capito come dimostrarla?
Posso chiederti cosa studi? Come hai sviluppato questo ragionamento?
Questa relazione $sinx+2x>=2x-1$ l'hai presa da $abs(sinx)<=1$ ? Come hai capito come dimostrarla?
Posso chiederti cosa studi? Come hai sviluppato questo ragionamento?
Io studio ingegneria. Non sono sicuro che sia tutto giusto, metto le mani avanti. Sicuramente lo schema da seguire in questi casi è questo.
Comunque per scegliere una funzione con cui confrontare $sen(x)+2x$ sono partito da $sen(x)>=-1$ e ho sommato a entrambi i membri $2x$, tenendo a mente che avevo bisogno di un infinito tipo $2x$.
Comunque per scegliere una funzione con cui confrontare $sen(x)+2x$ sono partito da $sen(x)>=-1$ e ho sommato a entrambi i membri $2x$, tenendo a mente che avevo bisogno di un infinito tipo $2x$.
Come si fà a capire quale funzione scegliere per confrontare? Ce n'è un elenco per caso?
No. A seconda del caso la costruisci.
Ah ok, va bene, un'ultima cosa: è normale avere queste difficoltà coi limiti? Grazie tante per le spiegazioni!
E certo questo è un esercizio difficile. Alle superiori non ne ho mai fatti di esercizi così dimostrativi. Gli altri di calcolo sono abbastanza standard, basta farne un bel po'.
Ma in confronto gli integrali risultano più semplici o più complessi?
Vai per ordine. Intanto fatti i limiti. E' solo da studiare.
A pagare e a fare integrali c'è sempre tempo.
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