Difficoltà con limite
Ho questo limite: $lim_(x->0)((2sin(x/2)-sinx)/(x^3))$. Faccio una sostituzione $x/2=t$ $->$ $x=2t$
Ora sostituisco: $lim_(t->0)((2sint-sin2t)/(8t^3))$ e procedo così: $lim_(t->0)((2sint)/(8t^3)-(sin2t)/(8t^3))$
Lo riscrivo così: $lim_(t->0)(1/(4t^2)*sint/t-1/(4t^2)*(sin2t)/(2t))$
Ora ottengo: $lim_(t->0)(1/(4t^2)-1/(4t^2))=0$
Il risultto giusto è però $1/8$.
Potreste aiutarmi a capire dove ho sbagliato?
Ora sostituisco: $lim_(t->0)((2sint-sin2t)/(8t^3))$ e procedo così: $lim_(t->0)((2sint)/(8t^3)-(sin2t)/(8t^3))$
Lo riscrivo così: $lim_(t->0)(1/(4t^2)*sint/t-1/(4t^2)*(sin2t)/(2t))$
Ora ottengo: $lim_(t->0)(1/(4t^2)-1/(4t^2))=0$
Il risultto giusto è però $1/8$.
Potreste aiutarmi a capire dove ho sbagliato?
Risposte
Beh certo che vado con ordine, era solo per sapere se ho altre montagne da superare 
Ma tornando al limite, quando hai scritto $sinx +2x >=-1+2x$ hai detto di aver utilizzato il teorema del confronto, ma allora non andava messo il seno tra due funzioni anziche metterlo maggiore di una?
Ma tornando al limite, quando hai scritto $sinx +2x >=-1+2x$ hai detto di aver utilizzato il teorema del confronto, ma allora non andava messo il seno tra due funzioni anziche metterlo maggiore di una?
Per un corollario del teorema del confronto puoi operare anche in quel modo.
Praticamente se hai due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ tali che sia
$f(x)<=g(x) \forall x>=NinRR$
e
$lim_(x->+infty)(f(x))=+infty$
allora
$lim_(x->+infty)(g(x))=+infty$
Infatti date le ipotesi:
$f(x)<=g(x) \forall x>=NinRR$
e
$lim_(x->+infty)(f(x))=+infty$
segue per la definizione di limite
$\forallM>0 EEN>0|f(x)>M\forallx>N$
Da mettere a sistema con
$f(x)<=g(x)$
onde
$M=N$
cioè:
$g(x)>=M \forall x>=N$ che è la definizione di limite infinito di una funzione all'infinito per $g(x)$, che è la tesi.
Nella fattispecie hai $f(x)=-1+2x$ e $g(x)=sen(x)+2x$. Se proprio vuoi le cose fatte per bene.
Praticamente se hai due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ tali che sia
$f(x)<=g(x) \forall x>=NinRR$
e
$lim_(x->+infty)(f(x))=+infty$
allora
$lim_(x->+infty)(g(x))=+infty$
Infatti date le ipotesi:
$f(x)<=g(x) \forall x>=NinRR$
e
$lim_(x->+infty)(f(x))=+infty$
segue per la definizione di limite
$\forallM>0 EEN>0|f(x)>M\forallx>N$
Da mettere a sistema con
$f(x)<=g(x)$
onde
$M
cioè:
$g(x)>=M \forall x>=N$ che è la definizione di limite infinito di una funzione all'infinito per $g(x)$, che è la tesi.
Nella fattispecie hai $f(x)=-1+2x$ e $g(x)=sen(x)+2x$. Se proprio vuoi le cose fatte per bene.
Grazie tante per la spiegazone! Mi sà proprio che mi prendo un testo serio di analisi 1!
E rimanere concentrato su quelli del liceo? Pensaci ...
Beh, l'dea è quella di capire meglio tutti i concetti, avere tutte le formule e i teoremi con tanto di corollari. Può essere solo un bene in quanto non distoglie dal programma ma serve a comprendere e approfondire tutti i concetti. Purtroppo i libri di adessso (e lo dicono anche gli insegnanti) non sono esaustivi e sono scarsi di contenuti.
Per quello basta un libro vecchio di liceo o Iti. Tipo Zwirner. Qualcosa del secolo scorso però. Quello nuovi hanno troppi colori che a me danno fastidio.
Hai ragione.
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