Difficoltà con i radicali
riporto in un nuovo topic la seguente disequazione: credo sia nn conveniente elevare al quadrato....ma non so come svolgere le operazioni.
$x^6 +(3sqrt3-2sqrt2)x^3- 6sqrt6>0$
vi ringrazio ancora per l'aiuto.
$x^6 +(3sqrt3-2sqrt2)x^3- 6sqrt6>0$
vi ringrazio ancora per l'aiuto.
Risposte
Poni $x^3=t$ e trova le radici dell'eq. di 2° grado associata.
Occhio al $Delta$ che viene un bel quadrato di binomio...
Occhio al $Delta$ che viene un bel quadrato di binomio...
"laura.todisco":
Poni $x^3=t$ e trova le radici dell'eq. di 2° grado associata.
Occhio al $Delta$ che viene un bel quadrato di binomio...
purtroppo ne sono consapevole....infatti non riesco a proseguire....il delta mi viene $ sqrt/3sqrt3-2sqrt2)^2-24sqrt6$.....numeretti....il problema è che non so come svolgere i calcoli adesso una volta calcolato il quadrato di binomio$27+8 -12sqrt6$....
Chiaramente, la presenza dei radicali mi induce a pensare che, se sono in grado di scomporre il primo membro in fattori, ottengo un gran risparmio di calcoli e di tempo.
Quindi
$x^6+(3sqrt3 -2sqrt2)x^3-6sqrt6>0 $
moltiplicando ottengo
$x^6+3sqrt3 x^3 -2sqrt2x^3-6sqrt6>0 $
con il raccoglimento a fattor parziale si ottiene
$(x^3+3sqrt3)*(x^3 -2sqrt2)>0$
Studio il segno dei due fattori
$x^3> -3sqrt3 --> x> -sqrt3 $
$x^3 -2sqrt2>0 --> x> sqrt2$
attraverso il grafico di studio dei segni si ottiene $x< -sqrt3 v x> sqrt2$
fine! ciao ciao
Quindi
$x^6+(3sqrt3 -2sqrt2)x^3-6sqrt6>0 $
moltiplicando ottengo
$x^6+3sqrt3 x^3 -2sqrt2x^3-6sqrt6>0 $
con il raccoglimento a fattor parziale si ottiene
$(x^3+3sqrt3)*(x^3 -2sqrt2)>0$
Studio il segno dei due fattori
$x^3> -3sqrt3 --> x> -sqrt3 $
$x^3 -2sqrt2>0 --> x> sqrt2$
attraverso il grafico di studio dei segni si ottiene $x< -sqrt3 v x> sqrt2$
fine! ciao ciao
"amelia":
Chiaramente, la presenza dei radicali mi induce a pensare che, se sono in grado di scomporre il primo membro in fattori, ottengo un gran risparmio di calcoli e di tempo.
Quindi
$x^6+(3sqrt3 -2sqrt2)x^3-6sqrt6>0 $
moltiplicando ottengo
$x^6+3sqrt3 x^3 -2sqrt2x^3-6sqrt6>0 $
con il raccoglimento a fattor parziale si ottiene
$(x^3+3sqrt3)*(x^3 -2sqrt2)>0$
Studio il segno dei due fattori
$x^3> -3sqrt3 --> x> -sqrt3 $
$x^3 -2sqrt2>0 --> x> sqrt2$
attraverso il grafico di studio dei segni si ottiene $x< -sqrt3 v x> sqrt2$
fine! ciao ciao
caspita....hai proprio ragione....vengono di gran lunga semplificati quei calcolli....ma tanto per apprendere...qualcuno mi può spiegare come si svolge in presenza di radicali nella formula risolutiva....? Bel metodo amelia....grazie mille....ho sudato freddo con questi calcoli ma ho bisogno di conoscerli bene...per saperli svolgere....
"bad.alex":
....ma tanto per apprendere...qualcuno mi può spiegare come si svolge in presenza di radicali nella formula risolutiva....? Bel metodo amelia....grazie mille....ho sudato freddo con questi calcoli ma ho bisogno di conoscerli bene...per saperli svolgere....
Vediamo come si poteva fare con la formula risolutiva standard.
$x^6+(3sqrt3-2sqrt2)x^3-6sqrt6>0$
Posto $t=x^3$ si ha
$t^2+(3sqrt3-2sqrt2)t-6sqrt6>0$
e l'equazione associata risulta
$t^2+(3sqrt3-2sqrt2)t-6sqrt6=0$
Il discriminante risulta
$\Delta=(3sqrt3-2sqrt2)^2+24sqrt6=(3sqrt3)^2-12sqrt6+(2sqrt2)^2+24sqrt6=(3sqrt3)^2+12sqrt6+(2sqrt2)^2$
e quindi nell'ultimo membro di questa catena di uguaglianze puoi riconoscere lo sviluppo di un quadrato di binomio
$\Delta = (3sqrt3+2sqrt2)^2$
Quindi le soluzioni dell'equazione associata risultano
$t_1=(-3sqrt3+2sqrt2 + (3sqrt3+2sqrt2))/2=2sqrt2$
$t_2=(-3sqrt3+2sqrt2 - (3sqrt3+2sqrt2))/2=-3sqrt3$
Quindi la disequazione ha soluzioni
$t < -3sqrt3 \quad t > 2sqrt2$
da cui
$x^3 < -3sqrt3 \quad x^3 > 2sqrt2$
e infine
$x < -sqrt3 \quad x > sqrt2$
Il trucco sta tutto nella manipolazione del delta. Se si cade nella tentazione di sommare i due quadrati dello sviluppo del primo quadrato di binomio si ottiene
$\Delta=(3sqrt3-2sqrt2)^2+24sqrt6=27-12sqrt6+8+24sqrt6=35+12sqrt6$
e per estrarre la radice quadrata di questo numeraccio bisogna ricorrere alle terribili formule dei radicali doppi
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
...come dire meglio spararsi un colpo!!! 
"Cozza Taddeo":
[quote="bad.alex"]....ma tanto per apprendere...qualcuno mi può spiegare come si svolge in presenza di radicali nella formula risolutiva....? Bel metodo amelia....grazie mille....ho sudato freddo con questi calcoli ma ho bisogno di conoscerli bene...per saperli svolgere....
Vediamo come si poteva fare con la formula risolutiva standard.
$x^6+(3sqrt3-2sqrt2)x^3-6sqrt6>0$
Posto $t=x^3$ si ha
$t^2+(3sqrt3-2sqrt2)t-6sqrt6>0$
e l'equazione associata risulta
$t^2+(3sqrt3-2sqrt2)t-6sqrt6=0$
Il discriminante risulta
$\Delta=(3sqrt3-2sqrt2)^2+24sqrt6=(3sqrt3)^2-12sqrt6+(2sqrt2)^2+24sqrt6=(3sqrt3)^2+12sqrt6+(2sqrt2)^2$
e quindi nell'ultimo membro di questa catena di uguaglianze puoi riconoscere lo sviluppo di un quadrato di binomio
$\Delta = (3sqrt3+2sqrt2)^2$
Quindi le soluzioni dell'equazione associata risultano
$t_1=(-3sqrt3+2sqrt2 + (3sqrt3+2sqrt2))/2=2sqrt2$
$t_2=(-3sqrt3+2sqrt2 - (3sqrt3+2sqrt2))/2=-3sqrt3$
Quindi la disequazione ha soluzioni
$t < -3sqrt3 \quad t > 2sqrt2$
da cui
$x^3 < -3sqrt3 \quad x^3 > 2sqrt2$
e infine
$x < -sqrt3 \quad x > sqrt2$
Il trucco sta tutto nella manipolazione del delta. Se si cade nella tentazione di sommare i due quadrati dello sviluppo del primo quadrato di binomio si ottiene
$\Delta=(3sqrt3-2sqrt2)^2+24sqrt6=27-12sqrt6+8+24sqrt6=35+12sqrt6$
e per estrarre la radice quadrata di questo numeraccio bisogna ricorrere alle terribili formule dei radicali doppi
...come dire meglio spararsi un colpo!!! [/quote] Chiaro. ti ringrazio moltissimo per il tempo che hai dedicato al mio problema. Avevo svolto qualche passaggio...pur errando in qualcosa...dal momento che le soluzioni sono risultate essere diverse ....tanto per cambiare....grazie.... 
Di niente.
Buono studio!
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