Differenziali, derivate e notazione di Leibniz
Salve! Come ho già scritto in un altro post, sono uno studente del V scientifico e mi sto interessando di Analisi (sì, dovrei presentarmi... 
). Vado dritto al punto:
Sia:
$ f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} $
Con $ h>0 $ , incremento della variabile, diremo rapporto incrementale destro in punto $ x_{0}\in[a,b]$:
$ \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h$
E rapporto incrementale sinistro:
$ \frac{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}$
Se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale di una funzione negli intorni destro e sinistro di un punto $c_{0}$, esso si dirà derivata della funzione nel punto $x_{0}$, cioè:
$y'=\lim_{h\to\0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\lim_{h\to\0}\frac{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}$
Se consideriamo un punto di ascissa generica $x$ , la derivata sarà a sua volta una funzione di $x$
Oltre alla notazione di Cauchy e quella di Lagrange, si può indicare la derivata con la notazione di Leibniz $frac{d}{dx}f(x)$
o $frac{dy}{dx}$ ma è solo un simbolo e non una frazione (almeno in analisi standard), questo mi è chiaro.
Essendo il differenziale definito come il prodotto della derivata prima della funzione per l'incremento della variabile (che è uguale al differenziale della variabile):
$dy=f'(x)dx$
ed è un'applicazione lineare del differenziale della variabile. Senza dilungarmi oltre sul significato di differenziale, ecco la mia domanda:
Che la notazione di Leibniz sia solo un simbolo è chiaro, ma il rapporto tra i differenziali non è comunque la derivata prima della funzione? O per qualche ragione non si può semplificare la frazione $\frac{f'(x)dx}dx$ ?
Ripeto ancora una volta: so che la notazione di Leibniz non rappresenta quella frazione, sto chiedendo se il quoziente tra i differenziali restituisce la derivata in analisi standard.
Se vi chiedete il perché di questa domanda, cerco di comprendere alcune equazioni differenziali in fisica, spesso risolte con il metodo urang-utang.
Ad esempio, data l'equazione:
$dS=\frac{dQ}T$
posso dire quanto segue?
$T=\frac{dS}{dQ}$
Cioè che la temperatura è la derivata dell'entropia rispetto al calore?
). Vado dritto al punto:Sia:
$ f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} $
Con $ h>0 $ , incremento della variabile, diremo rapporto incrementale destro in punto $ x_{0}\in[a,b]$:
$ \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h$
E rapporto incrementale sinistro:
$ \frac{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}$
Se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale di una funzione negli intorni destro e sinistro di un punto $c_{0}$, esso si dirà derivata della funzione nel punto $x_{0}$, cioè:
$y'=\lim_{h\to\0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\lim_{h\to\0}\frac{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}$
Se consideriamo un punto di ascissa generica $x$ , la derivata sarà a sua volta una funzione di $x$
Oltre alla notazione di Cauchy e quella di Lagrange, si può indicare la derivata con la notazione di Leibniz $frac{d}{dx}f(x)$
o $frac{dy}{dx}$ ma è solo un simbolo e non una frazione (almeno in analisi standard), questo mi è chiaro.
Essendo il differenziale definito come il prodotto della derivata prima della funzione per l'incremento della variabile (che è uguale al differenziale della variabile):
$dy=f'(x)dx$
ed è un'applicazione lineare del differenziale della variabile. Senza dilungarmi oltre sul significato di differenziale, ecco la mia domanda:
Che la notazione di Leibniz sia solo un simbolo è chiaro, ma il rapporto tra i differenziali non è comunque la derivata prima della funzione? O per qualche ragione non si può semplificare la frazione $\frac{f'(x)dx}dx$ ?
Ripeto ancora una volta: so che la notazione di Leibniz non rappresenta quella frazione, sto chiedendo se il quoziente tra i differenziali restituisce la derivata in analisi standard.
Se vi chiedete il perché di questa domanda, cerco di comprendere alcune equazioni differenziali in fisica, spesso risolte con il metodo urang-utang.
Ad esempio, data l'equazione:
$dS=\frac{dQ}T$
posso dire quanto segue?
$T=\frac{dS}{dQ}$
Cioè che la temperatura è la derivata dell'entropia rispetto al calore?
Risposte
Cos’è $text(d)x$?
Da dove è tirata fuori l’equazione “brutta” che citi?
Intendo: in Termodinamica spesso si fanno ipotesi di comodo che servono a semplificarsi la vita; la tua equazione in quali ipotesi è valida? Le quantità $S$ e $Q$ sono funzioni di quali variabili?
P.S.: A proposito di queste cose si è scritto tanto sul forum. Un mio post più o meno recente su questo argomento lo trovi qui... Se vuoi puoi cercarne altri.
Da dove è tirata fuori l’equazione “brutta” che citi?
Intendo: in Termodinamica spesso si fanno ipotesi di comodo che servono a semplificarsi la vita; la tua equazione in quali ipotesi è valida? Le quantità $S$ e $Q$ sono funzioni di quali variabili?
P.S.: A proposito di queste cose si è scritto tanto sul forum. Un mio post più o meno recente su questo argomento lo trovi qui... Se vuoi puoi cercarne altri.
"gugo82":
Cos’è $text(d)x$?
Da dove è tirata fuori l’equazione “brutta” che citi?
Intendo: in Termodinamica spesso si fanno ipotesi di comodo che servono a semplificarsi la vita; la tua equazione in quali ipotesi è valida? Le quantità $S$ e $Q$ sono funzioni di quali variabili?
Chiedo venia, non sono stato accurato.
L'equazione $dS=frac{dQ}T$ viene dal secondo principio della termodinamica; S rappresenta l'entropia, Q il calore scambiato, T la temperatura assoluta. I passaggi successivi li ho fatti io per chiedere se fossero leciti.
P.s. in realtà, l'equazione dovrebbe contenere un differenziale non esatto $\deltaQ$, ma è un concetto che non conosco assolutamente, quindi ho optato per questa forma, che ho riscontrato da qualche parte. ( $dQ$)
Ma a prescindere dalla parte fisica che, forse, dovrei andare a riprendere, avete già risposto anche a questa domanda da qualche parte?
Ripeto ancora una volta: so che la notazione di Leibniz non rappresenta quella frazione, sto chiedendo se il quoziente tra i differenziali restituisce la derivata in analisi standard.
http://web.tiscali.it/vanni_38/termoinfiniteS1.htm
Se devi solo imparare un po' di termodinamica per evitare di imparare a memoria la formula del lavoro dell'adiabatica e farti due cicli Otto, un Sabathé,... cose semplici insomma ti consiglio questo sito. È fatto bene. Se devi fare cose più spinte ci vorrà più tempo e più studio.
Per esempio se è una isobara $dQ=c_p*dT$ e hai risolto tutti i tuoi problemi.
Il sito viaggia con le calorie ma penso tu possa avere la flessibilità mentale per passare al sistema Giorgi ove necessario
Se devi solo imparare un po' di termodinamica per evitare di imparare a memoria la formula del lavoro dell'adiabatica e farti due cicli Otto, un Sabathé,... cose semplici insomma ti consiglio questo sito. È fatto bene. Se devi fare cose più spinte ci vorrà più tempo e più studio.
Per esempio se è una isobara $dQ=c_p*dT$ e hai risolto tutti i tuoi problemi.
Il sito viaggia con le calorie ma penso tu possa avere la flessibilità mentale per passare al sistema Giorgi ove necessario
"gugo82":
Le quantità $S$ e $Q$ sono funzioni di quali variabili?
Non so rispondere, non mi è chiaro il concetto di differenziale in fisica. 
A questo punto mi sorge spontanea un'altra domanda.
Il differenziale in matematica ed in fisica hanno lo stesso significato? Mi è capitato di leggere da qualche parte che il differenziale in fisica, o meglio, il simbolo $ d $ denota un incremento molto piccolo (infinitesimo), quando in matematica $df(x)$
è un'applicazione lineare della funzione $f(x)$
dato dal prodotto della sua derivata prima per il differenziale della variabile.
È vero che la fisica è ancora legata a questo approccio alla Leibniz, cioè si limita a considerare i singoli $dt$ o $ds$ come incrementi "infinitesimi" e niente di più?
Il differenziale in matematica ed in fisica hanno lo stesso significato? Mi è capitato di leggere da qualche parte che il differenziale in fisica, o meglio, il simbolo $ d $ denota un incremento molto piccolo (infinitesimo), quando in matematica $df(x)$
è un'applicazione lineare della funzione $f(x)$
dato dal prodotto della sua derivata prima per il differenziale della variabile.
È vero che la fisica è ancora legata a questo approccio alla Leibniz, cioè si limita a considerare i singoli $dt$ o $ds$ come incrementi "infinitesimi" e niente di più?
"Kar06":No. Tempo fa ho trovato una cosa molto illuminante sul perché fare considerazioni con quantità infinitesime \( d\text{roba} \) in fisica, in un commento sotto un post di facebook che tempo non troverò mai più.
È vero che la fisica è ancora legata a questo approccio alla Leibniz, cioè si limita a considerare i singoli dt o ds come incrementi "infinitesimi" e niente di più?
Mettiamoci per un attimo in fisica. Premetto che con "variazione infinitesima" si usa intendere una variazione piccola al punto da non essere apprezzabile dallo strumento che fornisce la precisione desiderata. È quindi una definizione che appartiene al mondo reale, fisico: dallo strumento di misura utilizzato.
L'utilizzo del calcolo (analisi) in fisica, ossia la definizione di grandezze fisiche mediante i suoi strumenti (derivate ecc.) è opera del buon senso. Molte volte, nell'analisi di un fenomeno fisico, la derivata è un buon candidato per formularne un modello (che non è la realtà), partendo da considerazioni su quantità finite.
Ti faccio un esempio (se puoi, dimentica per un attimo la definizione e il concetto di velocità). In una gara di corsa su pista rettilinea, Achille arriva - sempre - prima della tartaruga; per esprimere questo in termini matematici, una cosa saggia può essere, detta \( A \) la legge oraria di Achille, formare il rapporto \( \mathit{\Delta}A(t)/\mathit{\Delta}t \) su un intervallo di tempo \( \left[t_1,t_2\right] \), e confrontarlo con l'analogo rapporto \( \mathit{\Delta}T(t)/\mathit{\Delta}t \) - calcolato sul medesimo intervallo - della legge oraria \( T \) della tartaruga.
Ci avviciniamo ad un confronto puntuale delle due nuove grandezze, che esprimono in numero il concetto fisico di velocità (di "arriva prima"), quando l'intervallo \( \mathit{\Delta}t \) è molto piccolo. Qui entra in gioco la nostra capacità di modellizzare il fenomeno, introducendo, al posto di quei rapporti, le derivate \( \dot{A} \) e \( \dot{T} \).
La derivata è numericamente vicina - su una sicura base topologica - al rapporto \( \mathit{\Delta}A/\mathit{\Delta}t \), per \( \mathit{\Delta}t \) piccolo (aggettivazione prima di senso in matematica, non in fisica avrai capito), e questo ci permette di sostituirla ad esso, quando questa fosse una cosa sensata.
Come vedi quindi, il ragionamento di Leibniz o chi per lui di rimpicciolire i \( \mathit{\Delta}x \) fino ad una quantità infinitesima \( dx \), ottenendo quindi nel rapporto la "derivata" \( dx/dt \), non è pari applicato alla situa che ho descritto: abbiamo una definizione di derivata basata sulla teoria dei limiti, semplicemente la sostituiamo noi (perché ragioniamo e pensiamo da esseri viventi, e non come conseguenza logica di "piccolo/piccolo") al rapporto di grandezze, quando necessitiamo delle informazioni che ricaveremmo se esso fosse rapporto di quantità infinitesime.
Per concludere e riallacciarmi all'apertura: come vedi, se avessi ragionato con i \( dx \) (che non hanno [per ora] senso matematicamente, ma fisicamente ce l'hanno eccome), saresti comunque stato portato ben presto a calcolare la derivata di quelle due grandezze dell'esempio. Questo spero ti giustifichi perché in molti testi di fisica tali cose vengono allegramente usate, senza pretesa di totale rigore matematico nella modellizzazione della pallina che cade da un muro, che distoglierebbe l'attenzione dalla fisica. (E poi per le diffeq. boh funzionano quindi..).
Non ho parlato del differenziale: credo che discuterne quando non si ha chiaro perché usare le derivate in fisica crei una discreta confusione.
Grazie per la tua risposta, che ha fatto luce sul concetto di cambiamento infinitesimo e sull'utilità delle derivate in fisica, che però avevo già compreso: ciò che non è chiaro è quale significato abbia il differenziale esatto (lasciamo stare quello inesatto, per il momento) in fisica. Se intuitivamente è chiaro che esso indichi una variazione tanto piccola da non essere apprezzabile dallo strumento, non è chiaro cosa rappresenti da un punto di vista formale. Quando trovo $dU$
che indica la variazione di energia interna nel primo principio della termodinamica, o ancora il $dS$
nel secondo principio per l'entropia, non è invece chiaro come ricondurre ad una forma del tipo:
$df(x)=f'(x)dx$
Rispetto a quale variabile sono differenziate queste grandezze?
che indica la variazione di energia interna nel primo principio della termodinamica, o ancora il $dS$
nel secondo principio per l'entropia, non è invece chiaro come ricondurre ad una forma del tipo:
$df(x)=f'(x)dx$
Rispetto a quale variabile sono differenziate queste grandezze?
Se sei alle superiori lascia perdere il concetto di differenziale per il momento.
Per capirlo “bene” ci vogliono un po’ di cose di algebra lineare e analisi
Per capirlo “bene” ci vogliono un po’ di cose di algebra lineare e analisi
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