Differenza progressione aritmetica e somma di Gauss
Ciao a tutti, non riesco davvero a capire la differenza tra la progressione aritmetica:
$ sum_{i=0}^{n-1} i= { n(n-1)}/2 $
e la somma di Gauss:
$ sum_{i=1}^{n} i= { n(n+1)}/2 $
Perché i risultati sono così diversi nonostante cambino solo gli indici? Io per ottenere la seconda formula farei la prima -1...
Grazie mille in anticipo!!
$ sum_{i=0}^{n-1} i= { n(n-1)}/2 $
e la somma di Gauss:
$ sum_{i=1}^{n} i= { n(n+1)}/2 $
Perché i risultati sono così diversi nonostante cambino solo gli indici? Io per ottenere la seconda formula farei la prima -1...
Grazie mille in anticipo!!
Risposte
Nota che la prima fa la somma dei primi $n-1$ numeri interi, la seconda dei primi $n$.
Ci sarà sempre una differenza pari a $n$
Ci sarà sempre una differenza pari a $n$
"axpgn":
Nota che la prima fa la somma dei primi $n-1$ numeri interi, la seconda dei primi $n$.
Ci sarà sempre una differenza pari a $n$
Quindi sono la stessa cosa a meno di un n?
Dipende da cosa intendi dire con "sono la stessa cosa" …
Innanzi tutto nessuna delle due è una progressione aritmetica. Infatti una progressione aritmetica è una successione di numeri tale che la differenza tra un termine e il precedente è una costante. Entrambe però sono le somme parziali di una serie aritmetica. Una serie aritmetica è la serie
\[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k \]
Dove la successione \( a_k \) è una progressione aritmetica.
Le somme parziali \( S_n \) di una serie (qualunque) è la somma dei primi \( n+1\) termini della successione. Dunque
\[ S_n=\sum_{k=0}^{n} a_k \]
Bene! Ora che abbiamo chiarito la terminologia. Veniamo alla differenza delle due somme parziali che hai scritto.
Prima di tutto ti faccio notare quando dici che cambiano solo gli indici ti risulta strano che il risultato cambia. Beh prova a paragonare il risultato di
\[\sum_{k=0}^{5000} k \]
e
\[\sum_{k=0}^{5} k \]
e vedrai che i risultati sono ben diversi sebbene cambiano "solo" gli indici.
Per semplicità supponiamo un attimo che entrambe le somme che hai scritto partono da \( 0 \), infatti in una somma con un numero finito di termini sommare zero non cambia il risultato, quindi
\[S_{n-1}= \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{n(n-1)}{2} \]
e
\[S_n =\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \]
Come puoi notare sono due somme parziali della stessa serie aritmetica, ovvero \( 0,1,2,3,4,5,6\ldots\) dove \( a_k = k \) per tutti i \( k \in \mathbb{N} \). Semplicemente nel primo caso ti fermi prima. Ovvero
\[ S_{n-1} = 0+1+2+3+ \ldots + (n-1)\]
la seconda
\[ S_n = 0 + 1 + 2 + \ldots + (n-1) + n \]
Se scrivo
\[ S_N = \sum_{k=0}^{N} k = \frac{N(N+1)}{2} \]
nel primo caso effettuo la sostituzione \( N = n-1 \) e nel secondo caso \( N = n \) e i risultati diventano rispettivamente \( \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2}= \frac{n(n-1)}{2} \) e \(\frac{n(n+1)}{2} \).
Per completezza tra la tua domanda e la mia risposta c'è una sottile differenza che potremmo trascurare in questo caso, nella mia risposta qui sopra le due successioni che sono entrambe la stessa progressione aritmetica, ovvero \( a_k = k \) per tutti i \( k \in \mathbb{N} \), quindi \( a_0 = 0 \), \( a_1=1 \), \( a_2=2 \), etc...
Nella tua domanda la prima somma è la somma parziale della progressione aritmetica \( a_k = k \) per tutti i \( k \in \mathbb{N} \), quindi \( a_0 = 0 \), \( a_1=1 \), \( a_2=2 \), etc...
Mentre la seconda somma è la somma parziale della progressione aritmetica \( b_k = k+1 \) per tutti i \( k \in \mathbb{N} \), quindi \( b_0 = 1 \), \( b_1=2 \), \( b_2=3 \), etc...
Quindi sebbene le due progressioni aritmetiche sono differenti, le loro somme parziali sono uguali
\[ S_N= \sum_{k=0}^{n} a_k = \sum_{k=0}^{n} k = 0+ \sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=0}^{n-1} b_k \]
Ma il ragionamento sopra non cambia, pertanto
\[ \sum_{k=0}^{n-1} a_k = \sum_{k=0}^{n-1} k=\frac{n(n-1)}{2} \]
\[ \sum_{k=0}^{n-1} b_k = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\]
spero di esser stato chiaro.
\[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k \]
Dove la successione \( a_k \) è una progressione aritmetica.
Le somme parziali \( S_n \) di una serie (qualunque) è la somma dei primi \( n+1\) termini della successione. Dunque
\[ S_n=\sum_{k=0}^{n} a_k \]
Bene! Ora che abbiamo chiarito la terminologia. Veniamo alla differenza delle due somme parziali che hai scritto.
Prima di tutto ti faccio notare quando dici che cambiano solo gli indici ti risulta strano che il risultato cambia. Beh prova a paragonare il risultato di
\[\sum_{k=0}^{5000} k \]
e
\[\sum_{k=0}^{5} k \]
e vedrai che i risultati sono ben diversi sebbene cambiano "solo" gli indici.
Per semplicità supponiamo un attimo che entrambe le somme che hai scritto partono da \( 0 \), infatti in una somma con un numero finito di termini sommare zero non cambia il risultato, quindi
\[S_{n-1}= \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{n(n-1)}{2} \]
e
\[S_n =\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \]
Come puoi notare sono due somme parziali della stessa serie aritmetica, ovvero \( 0,1,2,3,4,5,6\ldots\) dove \( a_k = k \) per tutti i \( k \in \mathbb{N} \). Semplicemente nel primo caso ti fermi prima. Ovvero
\[ S_{n-1} = 0+1+2+3+ \ldots + (n-1)\]
la seconda
\[ S_n = 0 + 1 + 2 + \ldots + (n-1) + n \]
Se scrivo
\[ S_N = \sum_{k=0}^{N} k = \frac{N(N+1)}{2} \]
nel primo caso effettuo la sostituzione \( N = n-1 \) e nel secondo caso \( N = n \) e i risultati diventano rispettivamente \( \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2}= \frac{n(n-1)}{2} \) e \(\frac{n(n+1)}{2} \).
Per completezza tra la tua domanda e la mia risposta c'è una sottile differenza che potremmo trascurare in questo caso, nella mia risposta qui sopra le due successioni che sono entrambe la stessa progressione aritmetica, ovvero \( a_k = k \) per tutti i \( k \in \mathbb{N} \), quindi \( a_0 = 0 \), \( a_1=1 \), \( a_2=2 \), etc...
Nella tua domanda la prima somma è la somma parziale della progressione aritmetica \( a_k = k \) per tutti i \( k \in \mathbb{N} \), quindi \( a_0 = 0 \), \( a_1=1 \), \( a_2=2 \), etc...
Mentre la seconda somma è la somma parziale della progressione aritmetica \( b_k = k+1 \) per tutti i \( k \in \mathbb{N} \), quindi \( b_0 = 1 \), \( b_1=2 \), \( b_2=3 \), etc...
Quindi sebbene le due progressioni aritmetiche sono differenti, le loro somme parziali sono uguali
\[ S_N= \sum_{k=0}^{n} a_k = \sum_{k=0}^{n} k = 0+ \sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=0}^{n-1} b_k \]
Ma il ragionamento sopra non cambia, pertanto
\[ \sum_{k=0}^{n-1} a_k = \sum_{k=0}^{n-1} k=\frac{n(n-1)}{2} \]
\[ \sum_{k=0}^{n-1} b_k = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\]
spero di esser stato chiaro.
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